笔记：常见的约束问题求解算法——乘子法和Frank-Wolfe算法_frank wolfe算法编程matlab

前言
本文介绍了约束最优化问题中常用的两种算法，乘子法和 Frank-Wolfe 算法。
最后通过matlab编程实现了以上两种算法，并对实际问题进行求解。

0. 符号定义
   假设约束最优化问题
   $\min f(x),其中(x\in R^n)$，
   s . t .   g i ( x ) ≥ 0 , ( i ∈ I = { 1 , 2 , ⋯   , m 1 } ) s.t.\ g_i(x) \geq 0, (i \in I=\{1,2,\cdots, m_1\}) s.t. gi​(x)≥0,(i∈I={ 1,2,⋯,m1​})
      h j ( x ) = 0 , ( j ∈ E = { m 1 + 1 , m 1 + 2 , ⋯   , m } ) ) h_j(x) = 0, (j \in E = \{m_1+1, m_1+2, \cdots, m\})) hj​(x)=0,(j∈E={ m1​+1,m1​+2,⋯,m}))
   记函数f(x)的一阶导数为$\nabla f(x)$，二阶导数为${\nabla }^{2}f(x)$.

一、乘子法

1. 简介
   乘子法(multiplier method)是一种约束极小化的算法，通过引入Lagrange函数来求解得到最优解的。

2. 适用范围：无约束最优化问题

3. 算法步骤
   步0：取初始点$x^{(0)}\in R^n$，初始乘子向量${\lambda }^{(0)}$. 给定罚参数序列 { μ k } \{\mu_k \} { μk​}，精度$ϵ>0$. 令k=0.
   步1：下式构造增广Lagrange函数$L_{\mu }(x,\lambda )$.
   L μ ( x , λ ) = f ( x ) + 1 2 μ − 1 ∑ i ∈ I [ m i n 2 { μ g i ( x ) − λ i , 0 } − λ i 2 ] − ∑ j ∈ E λ i h i ( x ) + 1 2 μ ∑ j ∈ E h i 2 ( x ) L_{\mu}(x, \lambda) = f(x) + \frac{1}{2}\mu^{-1}\sum_{i \in I}[min^2 \{\mu g_i(x)-\lambda_i, 0\}-\lambda_i^2] - \sum_{j \in E}\lambda_ih_i(x) + \frac{1}{2}\mu\sum_{j \in E} h_i^2(x)