sigmoid函数、tanh函数、softmax函数及求导_tanh的导数

sigmoid函数和tanh函数都是激活函数，接收一个输入，产生一个输出。这里的求导是对激活函数求导。而softmax函数是一个多输入多输出的激活函数，这里提到的求导是对经过softmax函数后进行交叉熵计算得到的损失函数求导。

sigmoid函数及求导

sigmoid激活函数形式为：
$$\sigma (x)=sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
其导数为：
$$\frac{\text{d}\sigma (x)}{\text{d}x}=\sigma (x)(1-\sigma (x))$$

tanh函数及求导

tanh激活函数形式为：
$$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$
其导数为：
$$\frac{\text{d}tanh(x)}{\text{d}x}=1-(tanh(x){)}^2$$

softmax函数及求导

sigmoid函数以及tanh函数的求导都是比较简单的，而softmax函数的求导则稍显复杂。详细求导过程详见我的另一篇博客softmax函数及交叉熵函数求导，这里只是总结三种函数的求导。
这里以神经网络多分类问题为例，假设输出层有$n$个神经元，输出为$z_1,z_2,...,z_n$，经过softmax函数后的输出为$a_1,a_2,...,a_n$，$a_i$的计算公式为：
$$a_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^n{e}^{z_j}}$$
假设真实标签为$y_1,y_2,...,y_n$，由于是分类问题，因此$y_i$的取值为0或1，并且${\sum }_{i=1}^n{y}_i=1$。则交叉熵损失函数为：
$$L(\mathbf{a},\mathbf{y})=-\sum _i^n{y}_i\ln a_i$$
则其导数为：
$$\frac{\partial L}{\partial z_i}=a_i-y_i$$