线性代数——逆矩阵、列空间、秩与零空间_逆矩阵的行和列会发生什么变化

1.线性方程的初等变换和矩阵的初等变换的区别
线性方程组主要是采用初等行变换；
矩阵的初等变换包括列变换和行变换。
2.分类

只能作初等行变换：

• 解线性方程组
• 求矩阵列向量的最大无关组。
• 求特征向量(因为实际上还是求方程组的解)

不能用初等变换：

• 求特征值(由|λE-A|=0求，不能事先对A进行初等变换)

行列变换可以混用：

• 求矩阵的秩(初等变换不改变矩阵的秩)

行列变换不能混用：

• 求逆矩阵：可以对其进行初等行变换(横着求A|E)或初等列变换(竖着求A/E)，但一般而言初等行变换使用更广泛
  3.线性方程组
  
  即寻找一个向量X，使它变换后与向量V重合
  
  下图中，方程组的解依赖于矩阵A所代表的变换。
  
  根据矩阵A在变换后是将空间挤压为一条线或者一个点，还是保持像初始状态一样的完整二维空间，可以分为两种情况，A的行列式为0和A的行列式不为0。
  
  4.逆矩阵
  用矩阵A变换后，再用矩阵A的逆矩阵进行变换，基向量会回到初始状态。
  
  找到了矩阵A的逆矩阵后，即可可方程组两边同乘A的奴矩阵求解向量方程。
  
  这个过程在几何上，就对应于逆向进行变换并跟踪v的动向。
  
  5.当矩阵A的行列式不为0时，矩阵A存在逆矩阵。
  
  从几何的角度理解，当矩阵A的行列式为0时，矩阵A经过变换会将空间压缩到更低的维度上。，此时没有“逆变换”，因为不能将一条线“解压缩”为一个平面。
  
  
  
  
  
  A的行列式为0的情况下，线性方程组仍可能存在解。
  
  
  6.秩
  
  
  
  
  
  7.列空间
  
  
  
  
  8.零空间
  零向量一定包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。