平衡二叉搜索树的全面指南：AVL树、红黑树及其扩展

平衡二叉搜索树（BST）的实现及其应用

引言

在计算机科学中，数据结构的选择对算法的效率和程序的性能有着直接的影响。二叉搜索树（BST）是一种常用的数据结构，用于动态存储数据和实现高效的查找操作。然而，普通的二叉搜索树在插入和删除操作后可能会变得不平衡，从而导致最坏情况下的操作时间复杂度退化到O(n)。为了解决这个问题，平衡二叉搜索树应运而生。本文将介绍几种常见的平衡二叉搜索树的实现，包括AVL树和红黑树，并探讨它们在实际应用中的优势。

平衡二叉搜索树的基本概念

二叉搜索树（BST） 是一种每个节点都包含一个值，并且对于任何节点，左子树的所有节点值都小于该节点值，右子树的所有节点值都大于该节点值的树结构。BST的主要操作包括插入、删除和查找。

然而，在普通的BST中，这些操作的时间复杂度取决于树的高度。在最坏情况下，树的高度可能会达到n，从而导致操作时间复杂度变为O(n)。为了解决这个问题，平衡二叉搜索树通过维护树的平衡性来保证操作时间复杂度保持在O(log n)的级别。

AVL树

AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是一种自平衡的二叉搜索树，每个节点都有一个平衡因子（即左子树的高度减去右子树的高度），平衡因子的绝对值不超过1。AVL树通过旋转操作来保持平衡，从而确保树的高度始终保持在对数级别。

主要操作

1. 插入操作：<