傅里叶变换F(w)和F(f)之间的转换（有问题，但是目前我不会改了）_傅里叶变换w和f之间的转换

作者：Guff_9hys | 2024-08-08 16:20:44

踩

傅里叶变换w和f之间的转换

<对2 $\pi$ $F_{w}$ (w)= $F_{w}$ (2 $\pi$ f)or $F_{w}$ (w)= $F_{w}$ (2 $\pi$ f)的思考>

傅里叶变换：

$F_{w}(w)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ ①

$F_{f}(f)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j2\pi ft}dt$ ②

在进行积分的过程中，显然 $e^{-jwt}$ 比 $e^{-j2\pi ft}$ 的积分少了系数1/(2 $\pi$ )。如果忽略这部分的差异，①和②的结果是相似的。

正因为有了系数1/(2 $\pi$ )，导致可能产生 $F_{w}$ (w)=1/(2 $\pi$ ) $F_{w}$ (2 $\pi$ f)。

这边举的例子无论是公式还是结果都很有问题，但我目前不知道怎么改了，之前有点耽误大家时间了。

例如：

$cos(w_ct)\leftrightarrow \int_{-\infty }^{+\infty }cos(w_ct)e^{-jwt}dt=1/2\int_{-\infty }^{+\infty }(e^{jw_ct}+e^{-jw_ct})e^{-jwt}dt=1/2 {\color{Red} \int_{-\infty }^{+\infty }(e^{-j(w-w_c)t}+e^{-j(w+w_c)t})dt}$ ③

$=1/2\int_{-\infty }^{+\infty }(e^{-j(2\pi f-2\pi f_c)t}+e^{-j(2\pi f+2\pi f_c)t)t}dt)$ ④

积分结果③=1/2 $F_w(w)$ =④ $1/(4\pi )F_w(f)$ ，用w=2 $\pi$ f替换后得到 $F_{w}$ (w)=1/(2 $\pi$ ) $F_{w}$ (2 $\pi$ f)。

下面的两个公式也并不符合这个结论

$cos(w_{c}t)\leftrightarrow \pi(\delta (w+w_{c})+\delta (w-w_{c}))$

$cos(w_{c}t)\leftrightarrow 1/2(\delta (f+f_{c})+\delta (f-f_{c}))$

但是如果②在积分的过程中 $e^{-j2\pi ft}$ 的系数 1/2 $\pi$ 不能单独提出，此时 $F_{w}$ (w)= $F_{w}$ (2 $\pi$ f)。

例如：

$\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha |t|}e^{-jwt}=$ $\frac{2\alpha}{\alpha ^{2}+w^{2}}$

$e^{-\alpha |t|}\leftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha ^{2}+w^{2}}$ ③

$\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha |t|}e^{-j2\pi ft}=\int_{-\infty }^{0 }e^{\alpha t}e^{-j2\pi ft}+\int_{0 }^{\infty }e^{-\alpha t}e^{-j2\pi ft}$

$=\frac{1}{\alpha -j2\pi f}+\frac{1}{\alpha+j2\pi f}=\frac{2\alpha}{\alpha ^{2}+4\pi ^{2} f^{2}}$

系数 1/2 $\pi$ 不能单独提出，满足 $F_{w}$ (w)= $F_{w}$ (2 $\pi$ f)，由③可以得到④。

$e^{-\alpha |t|}\leftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha ^{2}+4\pi ^{2} f^{2}}$ ④

声明：本文内容由网友自发贡献，不代表【wpsshop博客】立场，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容，请联系我们。转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/w/Guff_9hys/article/detail/949004