动态规划_01背包问题

描述

一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是 W1​,W2​,...,Wn​,它们的价值分别为 C1​,C2​,...,Cn​，求旅行者能获得最大总价值。

输入描述

第 1 行：两个整数，M （背包容量，M≤200 ）和 N ( 物品数量，N≤30 )。
第 2…N+1 行：每行二个整数 Wi​,Ci​，表示每个物品的重量和价值。

输出描述

仅一行，一个数，表示最大总价值。

样例输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

样例输出

12

数据范围与提示

M≤200，N≤30

问题分析

物品编号为i，，背包容量为j ，背包价值为p[i][j]

（1）第一行（i=1）尝试将序号为1的物品放入背包：

背包容量为1时，什么都装不进去背包价值为0，P[1][1]=0。

背包容量为2时，正好1号物品重量为2，背包价值为1，P[1][2]=1。

因为是01背包问题，物品只有一个，所以第一行后面的背包价值都为1。

（2）第二行（i=2）尝试将序号为1、2的物品放入背包：

背包容量为1时，什么都装不进去背包价值为0，P[2][1]=0。

背包容量为2时，正好1号物品重量为2，背包价值为1，P[2][2]=1。

背包容量为3时，对比第一行是背包价值为1，即 P[1][2]=1。现新增加了第2种物品，新增加的重量为3，正好为背包容量。因此 P[2][3]=3。

背包容量为4时，也只能放重量为3的物品P[2][4]=3

背包容量为5时，对比第一行是背包价值为1，即 P[1][5]=1。现新增加了第2种物品，背包装上第2种物品后剩余容量为2，正好装第1种物品，因此 P[2][5]=4。P[i][j]=max(P[i-1][j]+第i种物品价值，P[i-1][j])。

（2）第三行（i=3）尝试将序号为1、2、4的物品放入背包：

背包容量为1时，什么都装不进去背包价值为0，P[3][1]=0。

背包容量为2时，正好1号物品重量为2，背包价值为1，P[3][2]=1。

背包容量为3时，对比第一行是背包价值为1，即 P[2][3]=3。现新增加了第2种物品，新增加的重量为3，不够背包容量。因此 P[3][3]=3。

背包容量为4时，对比第二行是背包价值为3，即 P[2][4]=3。现新增加了第3种物品，背包装上第3种物品后剩余容量为0，因此 P[3][4]=5。

背包容量为5时，对比第二行是背包价值为4，即 P[2][5]=4。现新增加了第3种物品，背包装上第3种物品后剩余容量为1，装不上其它物品，因此 P[3][5]=5。

背包容量为6时，对比第二行是背包价值为4，即 P[2][6]=4。现新增加了第3种物品，背包装上第3种物品后剩余容量为2，正好撞上1号产品价值为1，因此 P[3][6]=6。

…………………..

依次类推完成表格：

推理：

背包容量为j时，可装入背包的最大价值为：

如果j<第i 物品重量：直接取上方表格背包价值，即p[i][j]= p[i-1][j];

如果j>=第i 物品重量：

P[i][j]=max(第i种物品价值+去掉第i种物品重量后的背包最大价值，P[i-1][j]) = max(第i种物品价值+ P[i-1][j-第i物品价值]，P[i-1][j])

实现代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int p[201][201] = {},b[201][2] = {} ;//p[201][201]背包价值 b[201][2] 物品重量价值
    int  M,N; //M 背包容量，N物品数量
	cin >> M >> N;
	for(int i = 1;i <= N;i++)
	{
		cin >> b[i][0] >> b[i][1];
	}
	for(int i = 1;i <=N;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= M;j++)
	    {
            if (j < b[i][0]) 
            {
                 p[i][j]=p[i-1][j];
            }
            else
            {
                 int val= j-b[i][0];//去掉第i个物品重量以后背包剩余重量 
                 p[i][j]=max( b[i][1] + p[i-1][val] , p[i-1][j]) ;
            }
               
	    }
	}
    cout << p[N][M];
	return 0;
}