估计----2D射影变换_c++ 2d lut

作者：Guff_9hys | 2024-07-06 21:03:39

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c++ 2d lut

讲怎么求平面射影变换H

直接线性变换(DLT)算法

利用 $x_i' × Hx_i=0$ ， $h^{iT}$ 是 $H$ 的第 $i$ 行。一般选择前2行

$[\begin{matrix} 0^{T} & - w_{i}^{'} x_{i}^{T} & y_{i}^{'} x_{i}^{T} \\ w_{i}^{'} x_{i}^{T} & 0^{T} & - x_{i}^{'} x_{i}^{T} \\ - y_{i}^{'} x_{i}^{T} & x_{i}^{'} x_{i}^{T} & 0^{T} \end{matrix}] [\begin{matrix} h^{1} \\ h^{2} \\ h^{3} \end{matrix}] = 0$ $\begin{bmatrix} 0^T & -w_i'x_i^T &y_i'x_i^T \\ w_i'x_i^T &0^T &-x_i'x_i^T \\ -y_i'x_i^T &x_i'x_i^T & 0^T \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}h^1 \\ h^2 \\ h^3\end{bmatrix}=0$
求解 $H$ ，解是A的最小奇异值的单位奇异矢量

$m i n | | A h | |, s . t . | | h | | = 1$ $min \ ||Ah|| , \ s.t. \ ||h||=1$

不同的代价函数

代数距离，DLT的解在次代价函数下取得最优解

$d_{a l g} (x_{i}^{'}, H x_{i})^{2} = | | ε_{i} | |^{2} = | | [\begin{matrix} 0^{T} & - w_{i}^{'} x_{i}^{T} & y_{i}^{'} x_{i}^{T} \\ w_{i}^{'} x_{i}^{T} & 0^{T} & - x_{i}^{'} x_{i}^{T} \end{matrix}] h | |^{2}$ $d_{alg}(x_i',Hx_i)^2=||\varepsilon_i||^2=||\begin{bmatrix} 0^T & -w_i'x_i^T &y_i'x_i^T \\ w_i'x_i^T &0^T &-x_i'x_i^T \\ \end{bmatrix} h||^2$
几何距离

$单图像误差： \sum_{i} d (x_{i}^{'}, H {\bar{x}}_{i})^{2}$ $单图像误差： \sum_id(x_i',H\bar x_i)^2$
$对称转移误差： \sum_{i} d (x_{i}, H^{- 1} x_{i}^{'})^{2} + d (x_{i}^{'}, H x_{i})^{2}$ $对称转移误差： \sum_id(x_i,H^{-1}x_i')^2+d(x_i',Hx_i)^2$
重投影误差

$\sum_{i} d (x_{i}, {\hat{x}}_{i})^{2} + d (x_{i}^{'}, {\hat{x}}_{i}^{'})^{2} s . t {\hat{x}}_{i}^{'} = \hat{H} {\hat{x}}_{i}$ $\sum_id(x_i,\hat x_i)^2+d(x_i',\hat x_i')^2 \ \ \ \ s.t \ \hat x_i'=\hat H\hat x_i$
几何距离和代数距离的比较，考虑单图像误差

$({\hat{x}}_{i}^{'}, {\hat{y}}_{i}^{'}, {\hat{z}}_{i}^{'}) = H \bar{x}$ $(\hat x_i', \hat y_i', \hat z_i')=H\bar x$
$A_{i} h = ε_{i} = (\begin{matrix} y_{i}^{'} {\hat{w}}_{i}^{'} - w_{i}^{'} {\hat{y}}_{i}^{'} \\ w_{i}^{'} {\hat{x}}_{i}^{'} - x_{i}^{'} {\hat{w}}_{i}^{'} \end{matrix})$ $A_ih=\varepsilon_i=\begin{pmatrix} y_i'\hat w_i'-w_i'\hat y_i'\\ w_i'\hat x_i'-x_i'\hat w_i' \end{pmatrix}$
$d_{a l g} (x_{i}^{'}, {\hat{x}}_{i}^{'}) = (y_{i}^{'} {\hat{w}}_{i}^{'} - w_{i}^{'} {\hat{y}}_{i}^{'})^{2} + (w_{i}^{'} {\hat{x}}_{i}^{'} - x_{i}^{'} {\hat{w}}_{i}^{'})^{2}$ $d_{alg}(x_i',\hat x_i')=(y_i'\hat w_i'-w_i'\hat y_i')^2+( w_i'\hat x_i'-x_i'\hat w_i')^2$
$d (x_{i}^{'}, {\hat{x}}_{i}^{'}) = d_{a l g} (x_{i}^{'}, {\hat{x}}_{i}^{'}) / {\hat{w}}_{i}^{'} w_{i}^{'}$ $d(x_i',\hat x_i')=d_{alg}(x_i',\hat x_i')/\hat w_i'w_i'$
重投影的几何解释， $\nu_H$ 是满足 $(x',y',1)=H(x,y,1)$ 的4维空间的代数簇

$| | X_{i} - {\hat{X}}_{i} | |^{2} = (x_{i} - {\hat{x}}_{i})^{2} + (y_{i} - {\hat{y}}_{i})^{2} + (x_{i}^{'} - {\hat{x}}_{i}^{'})^{2} + (y_{i}^{'} - {\hat{y}}_{i}^{'})^{2} = d (x_{i}, {\hat{x}}_{i})^{2} + d (x_{i}^{'}, {\hat{x}}_{i}^{'})^{2}$ $||X_i-\hat X_i||^2=(x_i-\hat x_i)^2+(y_i-\hat y_i)^2+(x_i'-\hat x_i')^2+(y_i'-\hat y_i')^2=d(x_i,\hat x_i)^2+d(x_i',\hat x_i')^2$
通过一系列点 $(x_i.y_i,x_i',y_i')$ ，拟合出代数簇
Sampson误差，在 $\nu_H$ 上的点 $X$ 满足 $Ah=0$ ，记为 $\zeta_H(X)=(0,0)^T$

$ζ_{H} (X + δ_{x}) = ζ_{H} (X) + \frac{δ ζ_{H}}{δ X} δ_{x}$ $\zeta_H(X+\delta_x)=\zeta_H(X)+\frac {\delta \zeta_H}{\delta X}\delta_x$
求在满足 $J\delta_x=-\varepsilon$ 条件下使 $||\delta _x||$ 取最小值的矢量 $\delta_x$ ，最小化 $δ_{x}^{T} δ_{x} - 2 λ^{T} (J δ_{x} + ε)$ $\delta_x^T\delta_x-2\lambda ^T(J\delta_x+\varepsilon)$
$2 δ_{x} - 2 λ^{T} J = 0^{T} \mapsto δ_{x} = J^{T} λ$ $2\delta_x-2\lambda^TJ=0^T \mapsto \delta_x=J^T\lambda$
$J J^{T} λ = - ε \mapsto λ = - (J J^{T})^{- 1} ε \mapsto δ_{x} = - J^{T} (J J^{T})^{- 1} ε$ $JJ^T\lambda=-\varepsilon \mapsto \lambda = -(JJ^T)^{-1}\varepsilon\mapsto\delta_x=-J^T (JJ^T)^{-1}\varepsilon$
$\hat{X} = X + δ_{x}, | | δ_{x} | |^{2} = ε^{T} (J J^{T})^{- 1} ε$ $\hat X=X+\delta_x, \ \ \ ||\delta_x||^2=\varepsilon^T(JJ^T)^{-1}\varepsilon$
$最小化目标函数： \sum_{i} ε_{i}^{T} (J J^{T})^{- 1} ε_{i}$ $最小化目标函数：\ \ \ \sum_i\varepsilon_i^T(JJ^T)^{-1}\varepsilon_i$
这里有2处近似：1. $J$ ，点 $X$ 并未在簇上。2. 泰勒一阶展开

变换不变性

DLT算法的非不变性， $x_i \leftrightarrow x_i'$ 由DLT算法得到 $H$ 。相似变换下， $\tilde x_i=Tx_i \leftrightarrow \tilde x_i'=T'\tilde x_i'$ 由DLT算法会得到 $\tilde H=T'HT^{-1}$ 吗？
回答是：不一定能，所以DLT算法不具有不变性，会因为坐标选择而出现映射的不同
几何误差具有相似不变性
归一化变换，数据的归一化在一些算法中是必须得，特别是对一些不太良定的问题，例如：基本矩阵的计算以及三焦张量的DLT算法。
1.对点进行平移，让这些点的图心（Centroid）移到原点
2.进行尺度缩放，让这些点的到原点的平均距离为 $\sqrt 2$

$T = s [\begin{matrix} 1 & 0 & - \bar{u} \\ 0 & 1 & - \bar{v} \\ 0 & 0 & 1 / s \end{matrix}], s = \frac{\sqrt{2} n}{\sum_{i} [(x_{i} - \bar{u})^{2} + (y_{i} - \bar{v})^{2}]^{1 / 2}}$ $T=s \begin{bmatrix} 1&0&-\bar u \\ 0&1&-\bar v \\ 0&0&1/s \end{bmatrix} \ \ \ ,s=\frac {\sqrt 2 n}{\sum_i [(x_i-\bar u)^2+(y_i-\bar v)^2]^{1/2}}$

迭代最小化方法

单 图 像 误 差 ： f : h_{9 * 1} \mapsto (H x_{1}, H x_{2}, . . ., H x_{n})_{2 n * 1}

$单图像误差：\ \ \ f:h_{9*1}\mapsto (Hx_1,Hx_2,...,Hx_n)_{2n*1}$

对 称 转 移 误 差 ： f : h_{9 * 1} \mapsto (H^{- 1} x_{1}^{'}, . . ., H^{- 1} x_{1} n, H x_{1}, H x_{2}, . . ., H x_{n})_{4 n * 1}

$对称转移误差：\ \ \ f:h_{9*1}\mapsto (H^{-1}x_1',...,H^{-1}x_1n,Hx_1,Hx_2,...,Hx_n)_{4n*1}$

重 投 影 误 差 ： f : （ h ， {\hat{x}}_{1}, . . ., {\hat{x}}_{n} ）_{(9 + 2 n) * 1} \mapsto ({\hat{x}}_{1}, {\hat{x}}_{1}^{'}, . . ., {\hat{x}}_{n}, {\hat{x}}_{n}^{'})_{4 n * 1}

$重投影误差：\ \ \ f:（h，\hat x_1,...,\hat x_n ）_{(9+2n)*1}\mapsto (\hat x_1,\hat x_1',...,\hat x_n,\hat x_n')_{4n*1}$

有牛顿迭代和LM迭代

鲁棒估计

距离阈值：根据概率来选择，利用 $\chi^2$ 分布
采样多少次： $\varepsilon = 1-w$ 是野值比率，，选择 $s$ 个点， $p$ 是采样点中没有野值的概率, $(1-w^s)^N=1-p$
算法步骤
(1)角点检测
(2)角点匹配
(3)RANSAC鲁棒估计
(4)最优估计：由划分为内点的对应点重新估计H，利用LM迭代
(5)引导匹配：
(6)最后2步可以重复进行直到对应的数目稳定

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