矩阵等式 matrix identity（二）_matrix::identity

矩阵等式 matrix identity（numpy仿真）

矩阵乘法

$$A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=\sum_{j}A(:,j)B(j,:)$$

>> rng('default');
>> A = randi(3, 2, 3); B = randi(3, 3, 2);
>> A*B

ans =
    11    16
    12    15

>> C = zeros(size(A, 1), size(B, 2));
>> for j = 1:size(A, 2),
C = C + A(:, j) * B(j, :);
end

>> C
C =
    11    16
    12    15
1
2
3
4
5
6
7
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9
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12
13
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16
17

矩阵的迹（trace）

矩阵的迹等于其对角元素之和；

function t = trace(A)
if ~ismatrix(A) || size(A,1)~=size(A,2)
  error(message('MATLAB:trace:square'));
end
t = full(sum(diag(A)));
1
2
3
4
5

基本性质：

$$\|A\|_F^2=tr(A'\times A)=tr(A\times A')$$

>> A = magic(3);

>> norm(A, 'fro')^2
ans =
  285.0000

>> trace(A'*A)
ans =
   285

>> trace(A*A')
ans =
   285
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

• 矩阵的 F 范数是全体元素平方和，
• $A'\times A$：其对角线元素分别为列的平方和，
• $A\times A'$：其对角线元素分别为行的平方和再相加。
• 本质上都等于：$\sum\sum A.^2$