【20220112】【信号处理】为什么要进行分窗？从Matlab仿真的角度对比常见几种窗函数的特性_信号分窗

一、为什么要进行分窗？

1. 分窗的作用

        信号进行 FFT 变换容易因为非周期截断造成频谱泄露，加窗可以更好地满足 FFT 处理的周期性要求，减少频谱泄露。频谱泄露详解见：【20211228】【信号处理】从 Matlab 仿真角度理解频谱泄露

        （参考：数字信号预处理--加窗的重要性）

        （参考：为什么要对信号加窗）

        （参考：【信号处理】基础知识——加窗windowing）

        （参考：窗函数作用和性质）

2. 分窗使用范围

        分窗只适用于关注的频率在各时间点上分布均匀的信号。比如：在信号的前半段信号频率为 f1，在信号的后半段信号频率为 f2，这种信号是不适合用分窗算法来进行分析的！

3. 分窗的本质

        加窗本质相当于滤波器，通带内的系统函数不一定是常数值，加窗在时域进行，在时域信号点乘窗函数等价于频域信号频谱卷积窗函数频谱。

        （参考：为什么要对信号加窗、几种常见窗函数的特性）

        （参考：加窗原理和频谱泄露 深入理解）

        （参考：“时域加窗”和“频域加窗”的区别，如何选择一个合适的“窗”？）

二、窗函数的选择

1. 窗函数选取的原则

        加窗是用来减少频谱泄露的，减少频谱泄漏的方式是：尽量使频谱的能量主要集中在主瓣，尽量使旁瓣的能量低，也就是尽量提高峰值旁瓣比。

        窗函数选取原则：（1）窗函数频谱主瓣尽量窄，以提高频率分辨率；（2）旁瓣衰减和旁瓣衰减速率应尽量大，以减少频谱拖尾；

        通常情况下，窗函数的选择是上述两个条件的折衷。如果信号存在强干扰频率分量，且和感兴趣的分量相距较远，那么应该选择高旁瓣衰减速率的平滑窗（减少频谱泄露）；如果信号存在强干扰频率，且和感兴趣分量相距较近，那么应该选择具有低最大旁瓣高度的窗（减少频谱泄露）；如果感兴趣频率包含两种或多种频率距离很近的信号，那么应该选择主瓣宽度窄的平滑窗（提高频率分辨率）。

        （参考：FFT频谱泄露和加窗 （二））

2. 几种常见窗函数

        常见窗函数的有：矩形窗、切比雪夫窗、汉明窗、海宁窗、三角窗、高斯窗、凯泽窗、布莱克曼窗、平顶窗等。

        窗函数的差别在于：主瓣宽度（也称有效噪声带宽）、幅度失真度、最高旁瓣高度、旁瓣衰减速率等参数。主瓣宽度主要影响信号能量分布和频率分辨能力，主瓣越宽，频率分辨率越低；旁瓣高低和旁瓣衰减速率影响能量泄露程度（频谱拖尾效应），旁瓣越高说明能量泄露越严重；衰减速率越慢说明频谱拖尾越严重。

        几种窗函数特性比较：

         一般情况下，海宁窗（hanning）适用于 95% 的情况，它不仅具有较高的频率分辨率，还可以减少频谱泄露。

        （参考：几种常见窗函数的特性）

        （参考：什么是窗函数?）

        （参考：加窗函数 - 理解FFT和信号加窗原理及意义）

三、仿真对比

%% 窗函数
clear; clc; close all; warning off;
 
%% 生成信号
fs = 1000;  % 采样频率
L = 10;  
t = 0 : 1/fs : L;
N = length(t);
f = 10;  % 信号频率
s = 10 * sin(2 * pi * f * t);  % 原始信号
 
%% 信号加窗
w1 = chebwin(N)';  % 切比雪夫窗
w2 = hamming(N)';  % 汉明窗
w3 = hanning(N)';  % 海宁窗
w4 = triang(N)';  % 三角窗
w5 = gausswin(N)';  % 高斯窗
 
sw1 = s .* w1;
sw2 = s .* w2;
sw3 = s .* w3;
sw4 = s .* w4;
sw5 = s .* w5;
 
%% FFT变换
numfft = 128;
sfft = pow2db(abs(fft(s, numfft)));
sw1fft = pow2db(abs(fft(sw1, numfft)));
sw2fft = pow2db(abs(fft(sw2, numfft)));
sw3fft = pow2db(abs(fft(sw3, numfft)));
sw4fft = pow2db(abs(fft(sw4, numfft)));
sw5fft = pow2db(abs(fft(sw5, numfft)));
 
sfft_pos = sfft(1:numfft/2);
sw1fft_pos = sw1fft(1:numfft/2);
sw2fft_pos = sw2fft(1:numfft/2);
sw3fft_pos = sw3fft(1:numfft/2);
sw4fft_pos = sw4fft(1:numfft/2);
sw5fft_pos = sw5fft(1:numfft/2);
 
ff_pos = (0 : numfft/2-1) / numfft * fs;
 
 
%% 作图
figure(1);
subplot(2, 3, 1);
plot(s, 'linewidth', 1.5); title('原始信号波形（矩形窗）'); axis('tight');
subplot(2, 3, 2);
plot(w1, 'linewidth', 1.5); title('切比雪夫窗'); axis('tight');
subplot(2, 3, 3);
plot(w2, 'linewidth', 1.5); title('汉明窗'); axis('tight'); 
subplot(2, 3, 4);
plot(w3, 'linewidth', 1.5); title('海宁窗'); axis('tight'); 
subplot(2, 3, 5);
plot(w4, 'linewidth', 1.5); title('三角窗'); axis('tight'); 
subplot(2, 3, 6);
plot(w5, 'linewidth', 1.5); title('高斯窗'); axis('tight'); 
title('窗函数'); axis('tight');
 
figure(2);
sp21 = subplot(5, 1, 1);
plot(sw1, 'linewidth', 1.5); title('切比雪夫窗信号波形'); axis('tight');
sp22 = subplot(5, 1, 2);
plot(sw2, 'linewidth', 1.5); title('汉明窗信号波形'); axis('tight');
sp23 = subplot(5, 1, 3);
plot(sw3, 'linewidth', 1.5); title('海宁窗信号波形'); axis('tight');
sp24 = subplot(5, 1, 4);
plot(sw4, 'linewidth', 1.5); title('三角窗信号波形'); axis('tight');
sp25 = subplot(5, 1, 5);
plot(sw5, 'linewidth', 1.5); title('高斯窗信号波形'); axis('tight');
linkaxes([sp21, sp22, sp23, sp24, sp25], 'x');
 
figure(3);
subplot(2, 1, 1);
plot(w1, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(w2, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(w3, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(w4, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(w5, 'linewidth', 1.5); hold off;
legend('切比雪夫窗', '汉明窗', '海宁窗', '三角窗', '高斯窗');
title('窗函数'); axis('tight');
subplot(2, 1, 2);
plot(ff_pos, sfft_pos, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(ff_pos, sw1fft_pos, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(ff_pos, sw2fft_pos, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(ff_pos, sw3fft_pos, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(ff_pos, sw4fft_pos, 'linewidth', 1.5); hold on;
plot(ff_pos, sw5fft_pos, 'linewidth', 1.5); hold off;
 
legend('矩形窗信号FFT变换', '切比雪夫窗信号FFT变换', '汉明窗信号FFT变换', '海宁窗信号FFT变换', '三角窗信号FFT变换', '高斯窗信号FFT变换'); 
title('窗信号FFT变换'); axis('tight');

运行结果：

        （参考：matlab中窗函数的使用(一)）