如何求矩阵的特征值和特征向量_非方阵求特征值

举例求解矩阵的特征值和特征向量

（先明确：只有方阵才能求出特征值，非方阵只能求奇异值。）
  直接举一个例子：求下面矩阵M的特征值和特征向量。
M = [ 4 6 0 − 3 − 5 0 − 3 − 6 1 ] M =

$$\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix}$$ M=⎣⎡​4−3−3​6−5−6​001​⎦⎤​
  设矩阵M的特征值为$\lambda$,列出矩阵M的特征方程：矩阵M减去，$\lambda$乘以和M同等大小的单位矩阵E。再让它们整体的行列式的值等于0即可。如下所示：
$$|M-\lambda E|=0\text{\hspace{1em}(1)}$$
  求解(1)式的步骤如下：
$$|M-\lambda E|=\left[\begin{array}{ccc}4-\lambda & 6& 0\\ -3& -5-\lambda & 0\\ -3& -6& 1-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda )\left[\begin{array}{cc}4-\lambda & 6\\ -3& -5-\lambda \end{array}\right]=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)$$
  所以特征值为1和-2，重数是1。
  然后，把每个特征值$\lambda$带入到下方的线性方程组$(M-\lambda E)x=0$，求出特征向量。

  当${\lambda }_1=-2$时，解线性方程组：$(M-(-2)E)x=0$。
∣ M + 2 E ∣ = [ 6 6 0 − 3 − 3 0 − 3 − 6 3 ] ⇒ 先 变 成 增 广 矩 阵 [ 6 6 0 0 − 3 − 3 0 0 − 3 − 6 3 0 ] ⇒ 再 初 等 行 变 换 [ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 1 0 ] |M + 2E| =

$$\begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -3 & -3 & 0 \\ -3 & -6 & 3 \end{bmatrix}$$ \xRightarrow{先变成增广矩阵} $$\begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -3 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$ \xRightarrow{再初等行变换} $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$ ∣M+2E∣=⎣⎡​6−3−3​6−3−6​003​⎦⎤​先变成增广矩阵 ​⎣⎡​6−3−3​6−3−6​003​000​⎦⎤​再初等行变换 ​⎣⎡​100​10−1​001​000​⎦⎤​
所以，$x_1+x_2=0;-x_2+x_3=0$。随便带一个值，一般取$x_3=1$，可解得$x_2=1，x_1=-1。$
解得：$x_1=-1，x_2=1，x_3=1$，所以${\lambda }_1$的特征向量为：$p_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]。$

  当${\lambda }_2={\lambda }_3=1$时，解线性方程组：$(M-E)x=0$。
∣ M − E ∣ = [ 3 6 0 − 3 − 6 0 − 3 − 6 0 ] ⇒ 先 变 成 增 广 矩 阵 [ 3 6 0 0 − 3 − 6 0 0 − 3 − 6 0 0 ] ⇒ 再 初 等 行 变 换 [ 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] |M - E| =

$$\begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix}$$ \xRightarrow{先变成增广矩阵} $$\begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ \xRightarrow{再初等行变换} $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ ∣M−E∣=⎣⎡​3−3−3​6−6−6​000​⎦⎤​先变成增广矩阵 ​⎣⎡​3−3−3​6−6−6​000​000​⎦⎤​再初等行变换 ​⎣⎡​100​200​000​000​⎦⎤​
所以，$x_1+2x_2=0;x_3=0$。随便带一个值，这里取$x_1=-2$，可解得$x_2=1。$
解得：$x_1=-2，x_2=1，x_3=0$，所以${\lambda }_2$特征向量为：$p_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]。$
再取，$x_1=x_2=0，x_3=1$，可解得${\lambda }_3$的特征向量为：$p_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]。$

  综上所述：矩阵M的特征值为${\lambda }_1=-2，{\lambda }_2={\lambda }_3=1$。对应的特征向量为： p 1 = [ − 1 1 1 ] p_{1} =

$$\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$$ p1​=⎣⎡​−111​⎦⎤​、$p_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]、p_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

如何再继续进行矩阵的特征分解呢？

  接下来进行矩阵的特征分解，上面已经求出了矩阵M的特征值和特征向量了，下面就非常简单了。
设矩阵Q为矩阵M的特征向量按列组成的矩阵。将特征向量按照从大到小、从左到右按列排列构成Q。 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值。(按照刚才特征向量的位置，把对应特征值从上往下排列)如下所示：
Q = [ − 2 0 − 1 1 0 1 0 1 1 ] ， Λ = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] 。 Q=

$$\begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}$$ ，Λ= $$\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix}$$ 。 Q=⎣⎡​−210​001​−111​⎦⎤​，Λ=⎣⎡​100​010​00−2​⎦⎤​。
  所以最后，方阵M的特征值分解为：
$$M=Q\Lambda Q^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$$

最后注意:
能够进行特征分解的矩阵，要满足以下两个条件：
  1.如果矩阵的所有特征根都不相等，那么绝对可以特征分解。
  2.如果矩阵有等根,只需等根（重特征值）对应的那几个特征向量，是线性无关的。那么也可以特征分解。如果不是就不能了。
综合说：就是要有n个线性无关的特征向量。