AI基础：决策树，基于ID3、C4.5、CART构建原理_如果想要实现id3算法和cart算法,如何编写程序?

决策树是很多算法模型的基础，回顾下

什么是决策树

• 如图，思考一下一个决策问题：是否去相亲，一个女孩的母亲要给这个女孩介绍对象。

• 决策树相对于LR模型，简单清晰可解释性好很多，就是构造一课树，从根节点走到叶子节点就有答案了。

• 决策树更像是编程语言中的if-else一样，去做条件判断。

以上就是决策树的基本思想，那么如果有了一棵决策树，就相当于有了一个模型，接下来就是应用了。和其他模型一样，关注的还是决策树如何构造。

决策树的生成

决策树基于“树”结构进行决策的，这时我们就要面临两个问题 ：

• “树”怎么长。
• 这颗“树”长到什么时候停。

决策树的总体流程是“分而治之”的思想，分而治之之后就是继续用贪心思想去构造，一是自根至叶的递归过程，一是在每个中间节点寻找一个“划分”属性，相当于就是一个特征属性了。接下来我们来逐个解决以上两个问题。

这颗“树”长到什么时候停

• 当前结点包含的样本全属于同一类别，无需划分；例如：样本当中都是决定去相亲的，属于同一类别，就是不管特征如何改变都不会影响结果，这种就不需要划分了。
• 当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分；例如：所有的样本特征都是一样的，就造成无法划分了，训练集太单一。
• 当前结点包含的样本集合为空，不能划分。
• 早停：预剪枝。预剪枝就想象生活中场景，一棵树的一个分叉生长到一定程度我提前剪掉它这分叉叉头，它就不能继续生长了，此分叉就长停在这里了。

"树"怎么长：特征选择

就是说，我第一个节点选哪个特征，选好后往下分叉时继续怎么选特征。后面就重点讲树怎么长的过程。

往下看的前提是能明白信息熵、条件熵、信息增益、信息增益率、基尼指数这些概念，可以参看文章

信息熵、信息增益、信息增益率、基尼指数

特征选择：ID3算法

决策树最核心的就是每个节点该选择哪个特征。ID3算法使用信息增益来进行选择，公式如下。

• Gain(D,a)表示的是D数据集在a特征上的信息增益。Ent(D)表示D数据集的信息熵，实际上的表示符号也可以写成H(D)。后面减的那一坨是按a特征的v个特征值划分的数据集的信息熵之和，就是条件熵H(D|a)
• 公式图里有关键信息：信息增益=划分前的信息熵 - 划分后的信息熵（按a特征v个特征值划分的v个数据集信息熵之和，也叫条件熵，因为是在a的条件下划分的信息熵）。
• ID3算法选取信息增益最大的作为当前选取的特征。为啥？信息熵是混乱度的度量对吧，越混乱则信息熵越大，那么我们的目标是啥？目标是把通过决策树计算后把分类或回归的结果出来，结果就是一个数，就是相亲的去还是不去，信息熵是0，也就是说我们目的是把信息熵降下来对吧！所以就选取信息增益最大的，也就是划分后信息熵降的最多的那个特征
• ID3算法流程就是逐步算出每个特征的信息增益，然后选择最大的那个，作为当前节点，然后继续往下划分同样逻辑。

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不过，信息增益有一个问题：对可取值数目较多的属性有所偏好，看公式就能理解。例如：考虑将“编号”作为一个属性。为了解决这个问题，引出了另一个 算法C4.5。

特征选择：C4.5算法

为了解决信息增益的问题，引入一个信息增益率：

$$\begin{gathered} GainRatio\left(D,a\right)=\frac{Gain\left(D,a\right)}{IV\left(a\right)} \\ IV\left(a\right)=-\underset{v=1}{\stackrel{V}{\Sigma }}\frac{|D^v|}{|D|}{\log }_2\frac{|D^v|}{|D|} \end{gathered}$$

• 特征a的可能取值数目越多(即V越大)，则IV(a)的值通常就越大。IV是实际上是特征的信息熵

• 信息增益比本质： 是在信息增益的基础之上乘上一个惩罚参数。特征个数较多时，惩罚参数较小；特征个数较少时，惩罚参数较大。不过有一个缺点：信息增益率偏向取值较少的特征。

• 使用信息增益率：基于以上缺点，并不是直接选择信息增益率最大的特征，而是现在候选特征中找出信息增益高于平均水平的特征，然后在这些特征中再选择信息增益率最高的特征。

特征选择：CART算法

CART：classification and regression tree

ID3和C4.5是使用信息熵来表示纯度，CART是使用基尼指数来表示纯度。

• 公式表示在样本集合中一个随机选中的样本被分错的概率。

• 举例来说，现在一个袋子里有2种颜色的球若干个，伸手进去掏出2个球，颜色不一样的概率，这下明白了吧。**Gini(D)越小，数据集D的纯度越高。**基尼指数可以理解为熵模型的一阶泰勒展开

• 对于某个特征的基尼系数计算公式

$$Gini\_index\left(D,a\right)=\underset{v}{\stackrel{V}{\Sigma }}\frac{|D^v|}{|D|}Gini\left(D^v\right)$$

举个例子

假设现在有特征 “学历”，此特征有三个特征取值： “本科”，“硕士”， “博士”，

当使用“学历”这个特征对样本集合D进行划分时，划分值分别有三个，因而有三种划分的可能集合，划分后的子集如下：

1.划分点： “本科”，划分后的子集合 ： {本科}，{硕士，博士}

2.划分点： “硕士”，划分后的子集合 ： {硕士}，{本科，博士}

3.划分点： “博士”，划分后的子集合 ： {博士}，{本科，硕士}}

对于上述的每一种划分，都可以计算出基于 划分特征“学历”= 某个特征值比如本科、硕士、博士 ，将样本集合D划分为两个子集的纯度：

因而对于一个具有多个取值（超过2个）的特征，需要计算以每一个取值作为划分点，对样本D划分之后子集的纯度Gini(D,Ai)，(其中Ai 表示特征A的可能取值)

然后从所有的可能划分的Gini(D,Ai)中找出Gini指数最小的划分，这个划分的划分点，便是使用特征A对样本集合D进行划分的最佳划分点。这里划分直接划分成两个集合噢！如上划分点加入G(D,“本科”)最小，那么划分了两个集合{本科}，{硕士，博士}。仍然存在多个类型的集合{硕士，博士}仍然按照上述计算规则进行往下划分

综上案例，实际上CART树是一个二叉树。从二分类视角看CART

• 每一个产生分支的过程是一个二分类过程这个过程叫作“决策树桩”
• 一棵CART是由许多决策树桩拼接起来的
• 决策树桩是只有一层的决策树

决策树如何剪枝

决策树的剪枝基本策略有 预剪枝 (Pre-Pruning) 和 后剪枝 (Post-Pruning)。

• 预剪枝：其中的核心思想就是，在每一次实际对结点进行进一步划分之前，先采用验证集的数据来验证如果划分是否能提高划分的准确性。如果不能，就把结点标记为叶结点并退出进一步划分；如果可以就继续递归生成节点。
  • 优点：使得决策树的部分分支没有展开，降低了过拟合的风险，节省了训练时间；
  • 缺点：有可能出现欠拟合。
• 后剪枝：后剪枝则是先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树替换为叶结点能带来泛化性能提升，则将该子树替换为叶结点。
  • 优点：欠拟合风险很小，泛化性能也较高；
  • 缺点：训练时间比预剪枝长

三种不同的决策树对比

基本不用ID3和C4.5，仅作原理和演变了解

• ID3：
  • 取值多的属性，更容易使数据更纯，其信息增益更大。
  • 训练得到的是一棵庞大且深度浅的树：不合理。
  • 多叉树 只能处理分类问题
  • 只能处理离散特征
  • 不能处理缺失值
  • 无剪枝
• C4.5：
  • 采用信息增益率替代信息增益。 多叉树
  • 只能处理分类问题
  • 连续特征离散化
  • 可以处理缺失值：把缺失样本同时划分到所有子节点
  • 后剪枝
• CART：
  • 以基尼系数替代熵，最小化不纯度，而不是最大化信息增益。 二叉树
  • 可以处理回归问题
  • 连续特征多种切分点
  • 缺失值的惩罚：缺失百分比的重要度评估
  • 基尼系数避免log计算
  • 交叉验证剪枝法

树形结构为什么不需要归一化?

• 因为数值缩放不影响分裂点位置，对树模型的结构不造成影响。

• 按照特征值进行排序的，排序的顺序不变，那么所属的分支以及分裂点就不会有不同。而且，树模型是不能进行梯度下降的，因为构建树模型（回归树）寻找最优点时是通过寻找最优分裂点完成的，因此树模型是阶跃的，阶跃点是不可导的，并且求导没意义，也就不需要归一化。

• 既然树形结构（如决策树、RF）不需要归一化，那为何非树形结构比如Adaboost、SVM、LR、Knn、KMeans之类则需要归一化？因为对于线性模型，特征值差别很大时，运用梯度下降的时候，损失等高线是椭圆形，需要进行多次迭代才能到达最优点。 但是如果进行了归一化，那么等高线就是圆形的，促使SGD往原点迭代，从而导致需要的迭代次数较少。

分类决策树和回归决策树的区别

Classification And Regression Tree(CART)是决策树的一种，CART算法既可以用于创建分类树（Classification Tree），也可以用于创建回归树（Regression Tree），两者在建树的过程稍有差异。

这里只说回归树了，上述聊的就是分类树

回归树：选择均方差最小的切分点

CART回归树是假设树为二叉树，通过不断将特征进行分裂。比如当前树结点是基于第j个特征值进行分裂的，设该特征值小于s的样本划分为左子树，大于s的样本划分为右子树。

$$R_1\left(j,s\right)=\left\{x|x^{\left(j\right)}⩽s\right\}and{R}_2\left(j,s\right)=\left\{x|x^{\left(j\right)}>s\right\}$$
而CART回归树实质上就是在该特征维度对样本空间进行划分，而这种空间划分的优化是一种NP难问题，因此，在决策树模型中是使用启发式方法解决。典型CART回归树产生的目标函数为：

$$\underset{x_iϵR_m}{\Sigma }{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$$
因此，当我们为了求解最优的切分特征j和最优的切分点s，就转化为求解这么一个目标函数：

$$\underset{j,s}{\min }\left[\underset{c_1}{\min }\underset{x_iϵR_1\left(j,s\right)}{\Sigma }{\left(y_i-c_1\right)}^2+\underset{c_2}{\min }\underset{x_iϵR_2\left(j,s\right)}{\Sigma }{\left(y_i-c_2\right)}^2\right]$$
所以我们只要遍历所有特征的的所有切分点，就能找到最优的切分特征和切分点。最终得到一棵回归树。

后面再补代码吧，有描述错的欢迎指出，不闹笑话。。。