当前的状态依赖于之前的状态，可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策，有 NN 件物品，则需要 NN 次决策，每一次对第 ii 件物品的决策，状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
（2）当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 ii 个物品最优解即为前 i−1i−1 个物品最优解：

对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 ii 个物品：

选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。
代码如下：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N];    // 体积
int w[N];    // 价值 
int f[N][N];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
        if(j<v[i])
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
        }
        // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
        else
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
}

2.2 版本2 一维

将状态f[i][j]优化到一维f[j]，实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢？我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的i与j最优解，但题目只需要求得最终状态f[n][m]，因此我们只需要一维的空间来更新状态。

（1）状态f[j]定义：NN 件物品，背包容量j下的最优解。

（2）注意枚举背包容量j必须从m开始。

（3）为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序？在二维情况下，状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的，f[i][j]与f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后，如果我们还是正序，则有f[较小体积]更新到f[较大体积]，则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。

（4）例如，一维状态第i轮对体积为 33 的物品进行决策，则f[7]由f[4]更新而来，这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4]，但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时，我们求f[7]同样由f[4]更新，但由于是逆序，这里的f[4]还没有在第i轮计算，所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]。

（5）简单来说，一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」，逆序则不会有这样的问题。

状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i] 。


for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= 0; j--)
    {
        if(j < v[i]) 
            f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前
            f[j] = f[j];            // 优化后，该行自动成立，可省略。
        else    
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);                   // 优化后
    }

实际上，只有当枚举的背包容量 >= v[i] 时才会更新状态，因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。


for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = m; j >= v[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}

关于状态f[j]的补充说明
二维下的状态定义f[i][j]是前 ii 件物品，背包容量 jj 下的最大价值。一维下，少了前 ii 件物品这个维度，我们的代码中决策到第 ii 件物品（循环到第i轮），f[j]就是前i轮已经决策的物品且背包容量 jj 下的最大价值。

因此当执行完循环结构后，由于已经决策了所有物品，f[j]就是所有物品背包容量 jj 下的最大价值。即一维f[j]等价于二维f[n][j]。


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N];    // 体积
int w[N];    // 价值 
int f[N];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=v[i];j--)
    {
        // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
        
        
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        
    }
    cout << f[m] << endl;
}

2.3 版本3 优化输入

我们注意到在处理数据时，我们是一个物品一个物品，一个一个体积的枚举。

因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值，而是边输入边处理。


#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];  // 
 
int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
 
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;      // 边输入边处理
        for(int j = m; j >= v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
 
    cout << f[m] << endl;
 
    return 0;
}

二、完全背包问题

有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例
10

1.三维朴素做法（容易超时）


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
            }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

2.二维做法（优化）

优化思路
我们列举一下更新次序的内部关系：


f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)

由上两式，可得出如下递推关系：

     f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：


for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            
        }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

3.一维做法（最优化）

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码


for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

两个代码其实只有一句不同（注意下标）


f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
 
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样


 for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N];
int w[N];
int f[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++ )
        {
 
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            
        }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

三、多重背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤10000<N≤1000
0<V≤20000<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

输入样例

输出样例：

1.暴力做法（超时）


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],f[N][N];
int s[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
    {
        if(j>=k*v[i])
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

2.二进制优化


#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N = 12010, M = 2010;
 
int n, m;
int v[N], w[N]; //逐一枚举最大是N*logS
int f[M]; // 体积<M
 
int main()
{
    cin >> n >> m;
    int cnt = 0; //分组的组别
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int a,b,s;
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1; // 组别里面的个数
        while(k<=s)
        {
            cnt ++ ; //组别先增加
            v[cnt] = a * k ; //整体体积
            w[cnt] = b * k; // 整体价值
            s -= k; // s要减小
            k *= 2; // 组别里的个数增加
        }
        //剩余的一组
        if(s>0)
        {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = a*s; 
            w[cnt] = b*s;
        }
    }
 
    n = cnt ; //枚举次数正式由个数变成组别数
 
    //01背包一维优化
    for(int i = 1;i <= n ;i ++)
        for(int j = m ;j >= v[i];j --)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
 
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

四、分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100

输入样例

输出样例：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N][N],w[N][N],f[N],s[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++)
        {
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=m;j>=0;j--)
    for(int k=0;k<s[i];k++)
    if(j>=v[i][k])
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}

本文内容由网友自发贡献，转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/article/detail/50819

动态规划DP——背包问题_背包问题dp算法实现

一、01背包问题

1. 题目介绍

2. 题解代码（C++） 2.1 版本1 二维