树、二叉树、完全二叉树、满二叉树_二叉树、左子树、右子树、左孩子、右孩子、满二叉树、完全二叉树

数据结构 - 树

树的基本概念：

1. 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
2. 一棵树可以没有任何节点，称为空树
3. 一棵树可以只有一个节点，也就是根节点
4. 子树、左子树、右子树

树的度：

• 节点的度：子树的个数
• 树的度：所有节点度中最大值
• 叶子节点：度为0 的叶子节点
• 非叶子节点：度不为0 的节点

树的深度高度：

• 层数：根节点在第一层，根节点的子节点在第二层，以此类推
• 节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数（根节点-----> 当前节点）
• 节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数（当前节点----->最远叶子节点）
• 树的深度：所有节点深度中的最大值
• 树的高度：所有节点高度中的最大值
• 树的深度 等于 树的高度

有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系

无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系

森林：由m（m大于等于0）颗互不相交的树组成的集合

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二叉树（Binary Tree）

二叉树的特点：

• 每个节点的度最大为2（最多拥有2 颗子树）
• 左子树和右子树是有顺序的
• 即使某个节点只有一颗子树，也要区分左右子树
• 二叉树是有序树

二叉树的性质：

• 非空而二叉树的第i层，最多有2^i-1 个节点（i 大于等于1）
• 在高度为h的二叉树上面 ，最多有2^h -1 个节点（h >=1 ）
• 对于任何一个非空二叉树，如果叶子节点的个数为n0，度为 2 的节点个数为n2，则有n0=n2 + 1
• 假设度为1 的节点个数为n1 ,那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
• 二叉树的边数 T = n1 + 2 ^n2 = n -1 = n0 + n1 + n2 -1

真二叉树（Proper Binary Tree）

所有节点的度要么为0 ，要么为2

满二叉树（Full Binary Tree）

所有节点的度都要么为 0，要么为 2。且所有的叶子节点都在最后一层

• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）

叶子节点只会出现最后 2 层，且最后 1 层的叶子结点都靠左对齐

• 完全二叉树从根结点至倒数第 2 层是一棵满二叉树
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树的性质:

• 度为 1 的节点只有左子树
• 度为 1 的节点要么是 1 个，要么是 0 个
• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小

练习题：

如果一棵完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数 ???
假设叶子节点个数为 n0，度为 1 的节点个数为 n1，度为 2 的节点个数为 n2
总结点个数 n = n0 + n1 + n2，而且 n0 = n2 + 1
n = 2n0 + n1 – 1
完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1
n1为1时，n = 2n0，n 必然是偶数
叶子节点个数 n0 = n / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = n / 2
n1为0时，n = 2n0 – 1，n 必然是奇数
叶子节点个数 n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = (n – 1) / 2
叶子节点个数 n0 = floor( (n + 1) / 2 ) = ceiling( n / 2 )
非叶子节点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
因此叶子节点个数为 384