格林公式挖洞法中内曲线顺时针的直观解释_格林公式挖洞法方向与原方向

作者：算法编织者 | 2024-01-29 09:19:41

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格林公式挖洞法方向与原方向

视频讲解：格林公式挖洞法中内曲线顺时针的直观解释
使用格林公式的时候，取曲线逆时针为正方向，但如果曲线包围的区域内存在奇点，则不能直接使用格林公式，需要先使用挖洞法，其中内曲线为顺时针，大家记忆口诀通常是“外逆内顺”，如图所示，A为平面上的奇点在这里插入图片描述
当然曲线可能并不像图示那么光滑，可能是凹凸不平，比如这样

为了作图简单，本文将使用较为简单的曲面

那么为什么内曲线是顺时针呢，本文给大家一个直观的解释。

先来看一个这样的曲面，围成的区域为黄色部分，如图所示
在这里插入图片描述
此区域不包含奇点，所以可以放心的使用格林公式
$\oint_C{}=\int_{C1}{}+\int_{l1}{}+\int_{C2}{}+\int_{l2}{}=\iint_D{}$

我们将点B和C，点D和E逐渐靠近，直到重合，如图所示
在这里插入图片描述
此时 $l 1$ 和 $l 2$ 重合，方向相反，则
$\int_{l1}{}+\int_{l2}{}=0$
所以
$\oint_C{}=\int_{C1}{}+\int_{l1}{}+\int_{C2}{}+\int_{l2}{}=\int_{C1}{}+\int_{C2}{}=\iint_D{}$
所以我们可以将 $l 1$ 和 $l 2$ 去掉

所以最后可以得出
$\oint_{C1+C2}{}=\iint_D{}$

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