余弦相似度（Cosine Similarity）

定义

余弦相似度（Cosine Similarity）是n维空间中两个n维向量之间角度的余弦。它等于两个向量的点积（向量积）除以两个向量长度（或大小）的乘积。

公式

$$Similarity（A，B）=\frac{A\cdot B}{||A||\times ||B||}=\frac{\sum _{i=1}^n(A_i\times B_i)}{\sqrt[]{\sum _{i=1}^n{A}_i^2}\times \sqrt[]{\sum _{i=1}^n{B}_i^2}}$$

值的范围为[-1,1]，-1为完全不相似，1为完全相似。

例子

句子A：这只皮靴号码大了。那只号码合适

句子B：这只皮靴号码不小，那只更合适

怎样计算上面两句话的相似程度？

基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似。因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度。

第一步，分词。

句子A：这只/皮靴/号码/大了。那只/号码/合适。

句子B：这只/皮靴/号码/不/小，那只/更/合适。

第二步，列出所有的词。

这只，皮靴，号码，大了。那只，合适，不，小，很

第三步，计算词频。

句子A：这只1，皮靴1，号码2，大了1。那只1，合适1，不0，小0，更0

句子B：这只1，皮靴1，号码1，大了0。那只1，合适1，不1，小1，更1

第四步，写出词频向量。

句子A：(1，1，2，1，1，1，0，0，0)

句子B：(1，1，1，0，1，1，1，1，1)

到这里，问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（[0, 0, …]）出发，指向不同的方向。

两条线段之间形成一个夹角，

• 如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合,这是表示两个向量代表的文本完全相等；
• 如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似；
• 如果夹角为180度，意味着方向正好相反。

因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度。夹角越小，就代表越相似。

计算结果如下：
cos ⁡ ( θ ) = 1 × 1 + 1 × 1 + 2 × 1 + 1 × 0 + 1 × 1 + 1 × 1 + 0 × 1 + 0 × 1 + 0 × 1 1 2 + 1 2 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 × 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 6 9 × 8 = 0.7071

$$\begin{aligned} \cos(\theta) &= \frac{1 \times 1 + 1 \times 1 + 2 \times 1 + 1 \times 0 +1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 1}{\sqrt{1^2+1^2+2^2+1^2+1^2+1^2+0^2+0^2+0^2} \times \sqrt{1^2+1^2+1^2+0^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2}} \\ &\\ &= \frac{6}{\sqrt{9}\times\sqrt{8}} \\ &\\ &= 0.7071 \end{aligned}$$ cos(θ)​=12+12+22+12+12+12+02+02+02 ​×12+12+12+02+12+12+12+12+12 ​1×1+1×1+2×1+1×0+1×1+1×1+0×1+0×1+0×1​=9 ​×8 ​6​=0.7071​

计算结果中夹角的余弦值为0.7071非常接近于1，所以，上面的句子A和句子B是基本相似的。

参考：https://blog.csdn.net/zz_dd_yy/article/details/51926305