《Learning to Reweight Examples for Robust Deep Learning》笔记

[1] 用 meta-learning 学样本权重，可用于 class imbalance、noisy label 场景。之前对其 (7) 式中 ${ϵ}_{i,t}=0$（对应 Algorithm 1 第 5 句、代码 ex_wts_a = tf.zeros([bsize_a], dtype=tf.float32)）不理解：如果 $ϵ$ 已知是 0，那 (4) 式的加权 loss 不是恒为零吗？(5) 式不是优化了个吉而 ${\hat{\theta }}_{t+1}(ϵ)\equiv {\theta }_t$ ？有人在 issue 提了这个问题^[2]，但其人想通了没解释就关了 issue。

看到 [3] 代码中对 $ϵ$ 设了 requires_grad=True 才反应过来：用编程的话说，$ϵ$ 不应理解成常量，而是变量； 用数学的话说，(5) 的求梯度（$\nabla$）是算子，而不是函数，即 (5) 只是在借梯度下降建立 ${\hat{\theta }}_{t+1}$ 与 $ϵ$ 之间的函数（或用 TensorFlow 的话说，只是在建图），即 ${\hat{\theta }}_{t+1}(ϵ)$，而不是基于常量 ${\theta }_t$、$ϵ=0$ 算了一步 SGD 得到一个常量 ${\hat{\theta }}_{t+1}$。

一个符号细节：无 hat 的${\theta }_{t+1}$ 指由 (3) 用无 perturbation 的 loss 经 SGD 从 ${\theta }_t$ 优化一步所得；${\hat{\theta }}_{t+1}$ 则是用 (4) perturbed loss。文中 (6)、(7) 有错用作 ${\theta }_{t+1}$ 的嫌疑。

所以大思路是用 clean validation set 构造一条关于 $ϵ$ 的 loss $J(ϵ)$，然后用优化器求它，即 ${ϵ}_t^{\ast }=\arg {\min }_{ϵ}J(ϵ)$。由 (4) - (6) 有： J ( ϵ ) = 1 M ∑ j = 1 M f j v ( θ ^ t + 1 ( ϵ ) ) ( 6 ) = 1 M ∑ j = 1 M f j v ( θ t − α [ ∇ θ ∑ i = 1 n f i , ϵ ( θ ) ] ∣ θ = θ t ⏟ g 1 ( ϵ ; θ t ) ) ( 5 ) = 1 M ∑ j = 1 M f j v ( θ t − α [ ∇ θ ∑ i = 1 n ϵ i f i ( θ ) ] ∣ θ = θ t ) ( 4 ) = g 2 ( ϵ ; θ t )

$$\begin{aligned} J(\epsilon) &= \frac{1}{M}\sum_{j=1}^M f_j^v \left(\hat\theta_{t+1}(\epsilon) \right) & (6) \\ &= \frac{1}{M}\sum_{j=1}^M f_j^v \left(\theta_t - \alpha \underbrace{\left[ \nabla_{\theta} \sum_{i=1}^n f_{i,\epsilon}(\theta) \right] \bigg|_{\theta=\theta_t}}_{g_1(\epsilon; \theta_t)} \right) & (5) \\ &= \frac{1}{M}\sum_{j=1}^M f_j^v \left(\theta_t - \alpha \left[ \nabla_{\theta} \sum_{i=1}^n \epsilon_i f_i(\theta) \right] \bigg|_{\theta=\theta_t} \right) & (4) \\ &= g_2(\epsilon; \theta_t) \end{aligned}$$ J(ϵ)​=M1​j=1∑M​fjv​(θ^t+1​(ϵ))=M1​j=1∑M​fjv​ ​θt​−αg1​(ϵ;θt​) [∇θ​i=1∑n​fi,ϵ​(θ)] ​θ=θt​​​​ ​=M1​j=1∑M​fjv​(θt​−α[∇θ​i=1∑n​ϵi​fi​(θ)] ​θ=θt​​)=g2​(ϵ;θt​)​(6)(5)(4)​ 要注意的就是 (5) 那求导式，本质是个函数，而不是常量，其中 $ϵ$ 是自由的，$\theta$ 由于被 ${|}_{\theta ={\theta }_t}$ 指定了，所以看成常量，所以记为 $g_1(ϵ;{\theta }_t)$，于是整个 $J(ϵ)$ 也可以看成一个 $g_2(ϵ;{\theta }_t)$。

按 (6) 求 ${ϵ}_t^{\ast }$ 的思路就是：

1. 随机初始化 ${ϵ}_t^{(0)}$；
2. ${ϵ}_t^{(s+1)}\leftarrow {ϵ}_t^{(s)}-\eta {\nabla }_{ϵ}J(ϵ){|}_{ϵ={ϵ}_t^{(s)}}$，即 (7) 右边。可能由于 $J(ϵ)$ 形式上是带梯度的表达式，$\S$ 3.3 就称此为「unroll the gradient graph」，而求 ${ϵ}_t^{(s+1)}$ 的这一步就称为「backward-on-backward」吧。

而文章的 online approximation 就是：

• ${ϵ}_t^{(0)}=0$
• ${ϵ}_t^{\ast }\approx {ϵ}_t^{(1)}$

初始化为 0 可能不是最好的初始化方法，但不影响后续迭代优化，可参考 LoRA^[7]，它也用到全零初始化。

References

1. (ICML’18) Learning to Reweight Examples for Robust Deep Learning - paper, code
2. gradients of noisy loss w.r.t parameter \theta #2
3. （PyTorch 复现 1）TinfoilHat0/Learning-to-Reweight-Examples-for-Robust-Deep-Learning-with-PyTorch-Higher
4. （PyTorch 复现 2）danieltan07/learning-to-reweight-examples
5. facebookresearch/higher
6. Stateful vs stateless
7. (ICLR’22) LoRA: Low-Rank Adaptation of Large Language Models - paper, code