【数据结构】红黑树_n个内部节点的红黑树的高度

概述

RBT，RedBlackTree

应用场景

在JDK1.8的HashMap中，为了解决过度哈希冲突带来的长链表，会将链表转为红黑树；Linux底层的CFS进程调度算法中，vruntime利用红黑树来进行存储；多路复用技术的Epoll的核心结构也是红黑树+双向链表。

性质

1. 每个节点或是红色的，或是黑色的。
2. 根节点是黑色的。
3. 每个叶子节点（NIL）是黑色的。
4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
5. 对每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

引理

一棵有n个内部节点的红黑树的高度至多为$2\lg (n+1)$

证明

当节点都为黑色时，该树的节点数最少。
若bh（black-height）为黑高，则用归纳法：

• bh=0时n=0

• bh=1时n=1

• bh=2时n=3

• bh=3时n=7

因此，以x为根的子树至少包含$2^{bh(x)}-1$个内部结点。
设h为树的高度，则根据性质4，从根到叶节点（不包括根节点）的任何一条简单路径上都至少有一半的节点为黑色，所以根的黑高至少为$\frac{h}{2}$，于是有$n\ge 2^{\frac{h}{2}}-1$，即$h\le 2{\log }_2(n+1)$。

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