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考研数学——高数：微分方程_一阶微分方程求解公式

作者：知新_RL | 2024-06-27 09:42:33

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一阶微分方程求解公式

一、一阶线性微分方程

两种形式：

非齐次： $y'+p(x)y=Q(x)$

齐次： $y'+p(x)y = 0$

推导过程

推导公式的过程一般由特殊到一般：所以先求解齐次方程的解

$>>>\frac{dy}{dx} = -p(x)y$

$>>>\frac{dy}{y} = -p(x)dx$ （然后对等式两边同时积分）

$>>> ln|y| = -\int p(x)dx+ c_1$

$>>> y = \pm e^{c_1}e^{-\int p(x)dx} = ce^{-\int p(x)dx}$

再来求非齐次方程的解，由齐次解中的常数c联想非齐次方程中的Q(x)

c如果是关于x的方程，那么由这个解就能推出非齐次方程的形式

那么直接有推断的式子; $y = C(x)e^{-\int p(x)dx}...(1)$

$>>>y' = C'(x)e^{-\int p(x)dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}...(2)$

由于这个式子同时出现了C(x)与p(x)的乘积，为了能结合原方程式（含有p(x)y 且不含C(x)p(x)），所以将(1)式左右同乘p(x)，并与(2)相加

$y' + p(x)y = C'(x)e^{-\int p(x)dx} = Q(x)$ （将e移到右边再同时积分）

$C(x) = \int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx + c$ （再将这个C(x）代入解的式子中）

$y = e^{-\int p(x)dx}\times[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]$ （最终解）

例题

p(x) 是谁
Q(x) 是谁
公式用哪个

$(1)y'-\frac{2}{x}y = x^2$ $(2) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y}$ （两边求倒数，可以解出y关于x的解）

二、伯努利方程

$y' + p(x)y = Q(x)y^\alpha$

如果α=0，则是一阶非齐次的形式
如果α=1，则是一阶齐次的形式
故这里仅考虑α≠0,1的情况

推导过程

$y^{-\alpha }y'+p(x)y^{1-\alpha } = Q(x)$ （将右边y项除到左边）

注意到1-α刚好比-α高一次，如果换元可以大大简化式子（令 z = y^(1-α) ）

$z' = y^{-\alpha }y',z'+p(x)z = Q(x)$

这时候直接看作z与x的一阶线性微分方程求解，最后根据z与y的关系回代即可得到最终解

将y的次方移项
换元
看作新未知数的一阶方程求解
根据关系回代得到结果

例题

$(1) \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x} = a(lnx)y^2$

$(2) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy+x^2y^3}$ （两边求倒数后选择将一个看作未知数，根据满足伯努利公式形式的方程的解）

三、常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程

$y''+py'+qy =0$

解法

写特征方程（改写为 $r^2+pr+q=0$ ）
根据 △ 大于0（小于0、等于0）三种情况，代入三种根的解（r1、r2为特征方程的两个根）
1. $\Delta \geq 0$ 时直接根据中学的求根公式得到根
2. $\Delta <0,r_1 = \alpha +\beta i,r_2 = \alpha -\beta i$

$(1)\Delta >0,y = c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$

$(2)y = (c_1+c_2x)e^{r_1x},(r_1=r_2)$

$(3)y = e^{\alpha x}(c_1cos\beta x+c_2sin\beta x)$

例题

求微分方程通解 $y^{(4)}-2y^{(3)}+5y'' = 0$

写特征方程 $r^4 -2r^3+5y^2 = 0$
改写方程形式得到 $r^2(r^2-2r+5) = 0$
这时可以看到是有r1=r2=0（二重实根），计算得到r3，r4为单复根
结果 $y = e^{0x}(c_1+c_2x)+e^x(c_3cos2x+c_4sin2x)$

暂时没复习到线代部分，我看网课对这里的单复的理解就是，这个解如果有和它相等的，那这个就是复根，有多少个相同的就是多少重复根，这也能讲得通为什么 △＞0时表现出来的是两个单实根，而等于0时表现出来的是2重复根

四、常系数非齐次线性微分方程

这部分的教材资料可以参考下面这篇博客http://t.csdnimg.cn/Z9prHhttp://t.csdnimg.cn/Z9prH

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