结构化风险最小、VC维到SVM的理解_srm中的vc维

作者：盐析白兔 | 2024-04-02 10:54:11

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srm中的vc维

支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上。

置信风险：分类器对未知样本进行分类，得到的误差。

经验风险：训练好的分类器，对训练样本重新分类得到的误差。即样本误差

结构风险：置信风险 + 经验风险

结构风险最小化就是为了防止过拟合而提出来的策略，贝叶斯估计中最大后验概率估计就是结构风险最小化的一个例子。当模型的条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型先验概率表示时，结构风险最小化等价于最大后验概率估计。监督学习问题变成经验风险或结构风险函数的最优化问题，这时经验风险或结构风险函数是最优化的目标函数。

SVM在小样本训练集上能够得到比其它算法好很多的结果。支持向量机之所以成为目前最常用，效果最好的分类器之一，在于其优秀的泛化能力，这是是因为其本身的优化目标是结构化风险最小，而不是经验风险最小，因此，通过margin的概念，得到对数据分布的结构化描述，因此减低了对数据规模和数据分布的要求。 SVM也并不是在任何场景都比其他算法好，对于每种应用，最好尝试多种算法，然后评估结果。如SVM在邮件分类上，还不如逻辑回归、KNN、bayes的效果好。

VC维：将N个点进行分类，如分成两类，那么可以有2^N种分法，即可以理解成有2^N个学习问题。若存在一个假设H，能准确无误地将2^N种问题进行分类。那么这些点的数量N，就是H的VC维。这个定义真生硬，只能先记住。一个实例就平面上3个点的线性划分的VC维是3. 而平面上 VC维不是4，是因为不存在4个样本点，能被划分成2^4 = 16种划分法，因为对角的两对点不能被线性划分为两类。更一般地，在r 维空间中，线性决策面的VC维为r+1。

置信风险的影响因素有：训练样本数目和分类函数的VC维。训练样本数目，即样本越多，置信风险就可以比较小；VC维越大，问题的解的种类就越多，推广能力就越差，置信风险也就越大。因此，增加样本数，降低VC维，才能降低置信风险。而一般的分类函数，需要提高VC维，即样本的特征数据量，来降低经验风险，如多项式分类函数。如此就会导致置信风险变高，结构风险也相应变高。过度学习即overfit，就是置信风险变高的缘故。

结构风险最小化SRM(structured risk minimize)就是同时考虑经验风险与结构风险。在小样本情况下，取得比较好的分类效果。保证分类精度（经验风险）的同时，降低学习机器的 VC 维，可以使学习机器在整个样本集上的期望风险得到控制，这应该就是SRM的原则。

当训练样本给定时，分类间隔越大，则对应的分类超平面集合的 VC 维就越小。（分类间隔的要求，对VC维的影响）

根据结构风险最小化原则，前者是保证经验风险（经验风险和期望风险依赖于学习机器函数族的选择）最小，而后者使分类间隔最大，导致 VC 维最小，实际上就是使推广性的界中的置信范围最小，从而达到使真实风险最小。

训练样本在线性可分的情况下，全部样本能被正确地分类（咦这个不就是传说中的yi*(w*xi+b)）>=1的条件吗），即经验风险Remp 为 0 的前提下，通过对分类间隔最大化（咦，这个就是Φ（w）＝(1/2)*w*w嘛），使分类器获得最好的推广性能。

对于线性不可分的状况，可以允许错分。即对于离群点降低分类间隔。将距离原来的分类面越远，离群就越严重，这个距离，可以用一个值--松弛变量来表示，只有离群点才有松弛变量。当然，要对这个值加以限制，即在最小化函数里，加入一个惩罚项，里面还有一个可以人为设定的惩罚项C。当C无限的大，那么就退化为硬间隔问题，不允许有离群点，问题可能无解。若C=0，无视离群点。有时C值需要多次尝试，获取一个较好的值。

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