数据结构——二叉树的顺序存储（堆）_顺序存储二叉树

二叉树的顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 

 

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堆

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概念

如果有一个关键码的集合K = {k0 ，k1 ，k2 ，k3…，k(n-1) }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足Ki <= K(2*i+1)且Ki <= K(2*i+2)(Ki >= K(2*i+1)且Ki >= K(2*i+2)) i = 0，1， 2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

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性质

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

堆总是一棵完全二叉树。

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堆的实现

（本篇文章均采用小堆）

由于在物理上是一个数组，我们可以借助顺序表的思想

typedef int hpDataType;
 
typedef struct heap
{
	hpDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

初始化与销毁

void HeapInit(HP* hp)
{
	hp->a = NULL;
	hp->size = 0;
	hp->capacity = 0;
}
 
void HeapDestroy(HP* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->size = 0;
	hp->capacity = 0;
}

插入

由于堆的特性，头插改变堆的结构，所以我们选择尾插

void HeapPush(HP* hp, hpDataType x)
{
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newCapacity = (hp->capacity + 1) * 2 - 1;
		hpDataType* tmp = (hpDataType*)realloc(hp->a, sizeof(hpDataType)*newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc error\n");
			exit(-1);
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newCapacity;
	}
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;
	Adjustup(hp->a, hp->size - 1);
}

 

例如这样的一个堆，当我们在进行尾插时，这个数组的结构已经不符合堆的性质，所以我们要讲新插入的数据调整到合适的位置，我们称之为上调。

例如我们在上面的堆中插入一个20

我们通过比较它与它的父节点来判断是否进行交换

当它小于它的父节点或者它变为根节点时，变为小堆，停止交换

void Swap(hpDataType* m, hpDataType* n)
{
	hpDataType mid = 0;
	mid = *m;
	*m = *n;
	*n = mid;
}
void Adjustup(hpDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child!=parent&&a[child] < a[parent])
	{
		Swap(&a[child], &a[(child - 1)/2]);
		child = (child - 1) / 2;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}
 
void HeapPush(HP* hp, hpDataType x)
{
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newCapacity = (hp->capacity + 1) * 2 - 1;
		hpDataType* tmp = (hpDataType*)realloc(hp->a, sizeof(hpDataType)*newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			printf("realloc error\n");
			exit(-1);
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newCapacity;
	}
	hp->a[hp->size] = x;
	hp->size++;
	Adjustup(hp->a, hp->size - 1);
}

删除

同样，删除分为头删和尾删，但在二叉树中，尾删并没有什么作用，而头删可以帮助我们选出最小（最大的数据），所以我们只考虑头删。

但若按照常规思路进行头删，会破坏堆的结构。

所以我们并不能采用常规的思路

这里我们可以将根节点与最后一个节点进行交换后进行尾删，然后将根节点（原本的最后一个节点）向下调整

 

 可以看到，在我们进行向下调整的时候，我们比较的是父节点和左右孩子节点中较小的一个，这是因为若是比较较大的孩子节点，交换后被交换的孩子节点依然大于未被交换的孩子节点。无法构成小堆（大堆相反）

例如在第一次调整中，若是比较较大的孩子节点

交换后30依然会大于26 

void Adjustdown(hpDataType* a, int size , int parent)
{
	int leftChild = (parent + 1) * 2 - 1;
	int rightChild = (parent + 1) * 2;
	int min = 0;
	while (leftChild<size)
	{
		if (rightChild < size && a[rightChild] < a[leftChild])
			min = rightChild;
		else
			min = leftChild;
		if (a[min] < a[parent])
		{
			Swap(&a[parent], &a[min]);
			parent = min;
			leftChild = (parent + 1) * 2 - 1;
			rightChild = (parent + 1) * 2;
		}
		else
			break;
	}
}
 
void HeapPop(HP* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	Swap(&(hp->a)[0], &(hp->a)[hp->size - 1]);
	hp->size--;
	Adjustdown(hp->a,hp->size, 0);
}

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堆的相关问题

TopK问题

TopK问题，指的是在一个大小为n的数组中寻找最小（最大）的前K个的问题

在此之前，我们通常会运用排序来解决。

但若n较大，时间复杂度会很大。

同时，我们也可以构建大小为n的小堆（大堆）来解决。

但这同样存在问题，那就是若n较大，栈区无法存储。

因此我们可以构建一个大小为K的小堆（大堆），当存储前K个后，通过比较新数据与根节点数据，来判断是否进行插入，最后选择出最小（最大）的前K个数据。

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	for (int i = k; i < n; i++)
	{
		if (a[i] > HeapTop(&hp))
		{
			(hp.a)[0] = a[i];
			Adjustdown(hp.a, k ,0);
		}
	}
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", (hp.a)[i]);
	}
	printf("\n");
}

堆排序

堆排序，指的是给出一个大小为n的数组，通过堆进行排序。

通常我们可以想到构建一个小堆（大堆），将数组一个个插入进去。

这样做空间复杂度为O(n)。

那么我们如何使空间复杂度达到O(1)呢？

首先我们默认为降序。

由于堆在物理上就是一个数组，所以我们可以直接对数组进行操作，使其首先构建成小堆（大堆）。我们可以先将第一个数据当做堆，在将后面的数据一个个插入（向上调整）

 

for (int i = 1; i < n; i++)
{
	Adjustup(a, i);
}

另外，我们还有另外一种方法

我们可以向下调整。但向下调整的前提是左右子树都为小堆（大堆）。因此，我们需要从最后一个非叶子节点（叶子节点没有左右子树，不需要调整）开始向下调整。

在构建好小堆（大堆）后，我们便可以进行排序的操作。

由于是对原数组进行操作，我们无法做到将根节点赋值给数组后进行删除。但在头删中，我们是将根节点与最后一个节点交换后向下调整，由于小堆的根节点最小，那么最小的数便被放置在数组的末尾，并且将其排除在堆外。

那么在第二次删除后，数组中倒数第二个数据便为15（第二小）。

由此可知，我们只需要不断进行删除操作，便能将小堆转变为降序

（注意：降序需要小堆，升序需要大堆，一定不要搞反）

如此，我们便可以完成堆排序

void HeapSort(int* a, int n)
{
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		Adjustup(a, i);
	}
	for (int i = n-1; i > 0 ; i--)
	{
		Swap(&a[i], &a[0]);
		Adjustdown(a, i, 0);
	}
}

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构建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值，多几个节点不影响最终结果)。

 在堆排序中，我们讲述了构建堆的方法，我们可以统计各层节点的数量和移动层数来进行计算。

 

因此可以得出：构建堆的时间复杂度为O(N)