矩阵的定义及其基本运算_(ka)^t

看原文https://dyingdown.github.io/2020/03/15/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%8F%8A%E5%85%B6%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E8%BF%90%E7%AE%97/
学的BiliBili上面的《约学习 父子局》的视频。做一下笔记。

矩阵的定义

由$m\times n$个数，排成的m行n列的表格

$\left[\begin{array}{llll}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$称为一个$m\times n$的矩阵，记为A.

若$m=n$，则称为n阶方阵；

若A与B都是$m\times n$的矩阵，则称A与B是同型矩阵；

若A与B是同型矩阵，且对应元素$a_{ij}=b_{ij}$，则$A=B$.

特殊的几个矩阵

1. 零矩阵：每个元素都是0的矩阵，记为0

2. 行向量：只有一行的矩阵称为行矩阵，也叫行向量

   列向量：只有一列的矩阵称为列举阵，也叫列向量

3. 单位阵：主对角线元素均为1，其余元素全为0的n阶方阵

4. 数量阵：主对角线元素均为k，其余元素全为零的n阶方阵

5. 对角阵：主对角线以外的元素全为零

6. 上（下）三角阵：主对角线以下以上元素全为0

矩阵的基本运算

1. 加法运算【同型且对应元素相加】
2. 数乘运算【数k乘每一个元素】
3. 乘法运算【A的列等于B的行且对应元素相乘再相加】
4. 方阵的幂【A必须是方阵】
5. 转置运算【A的行列互换，记为$A^T$】
6. 方阵的行列式【n阶矩阵A的元素构成的行列式，记为$|A|$】

乘法运算的性质

1. $AB\ne BA$
2. $AB=0\nRightarrow A=0orB=0$
3. $AB=AC,A\ne 0\nRightarrow B=C$
4. 同型对角阵相乘等于主对角线元素的对应元素相乘得到新的矩阵的相应的主对角线元素

方阵的幂的运算方法

1. 归纳法
2. 相似法：题目中包含其与对角矩阵的公式，则将其换为对角矩阵
3. 一列×一行：拆开重新合并
4. $A=\left[\begin{array}{lll}0& a& c\\ 0& 0& b\\ 0& 0& 0\end{array}\right],A^2=\left[\begin{array}{lll}0& 0& ab\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],A^3=A^4=A^n=0$

转置运算的性质

满足$A^T=A$的矩阵$A$称为对称阵；

满足$A^T=-A$的矩阵$A$称为反对称阵

性质

1. $(A^T{)}^T=$