7. 二叉排序树的搜索、插入、删除，时间复杂度

由上述定义可知， 中虚遍历二叉排序树可以得到一个按关键码有序的序列。

template<class T>
struct BiNode
{
	T data;
	BiNode<T>*lchild,rchild;
}
class BiSortTree
{
 public:
	BiSortTree(int a[],int n);
	~BiSortTree();
	void InsertBST(BiNode<int>*root,BiNode<int>*s);
	void DeleteBST(BiNode<int>*p,BiNode<int>*f);
	BiNode<int>*SearchBST(BiNode<int>*root,int k);
 private:
	BiNode<int>*root;
}
 
void BiSortTree::InsertBST(BiNode<int>*root,BiNode<int>*s)
{
	if(root==NULL)
		root=s;
	else if(s->data<root->data)
		InsertBST(root->lchild,s);
	else
		InsertBST(root->rchild,s);
}	
 
BiSortTree::BiSortTree(int r[],int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		BiNode<int>s=new BiNode<int>;
		s->data=r[i];
		s->lchild=s->rchild=NULL;
		InsertBST(root,s);
	}
}
//在二叉排序树中删除一个节点f的左孩子节点p的算法：
//1.若节点p是叶子，则直接删除节点p
//2.若节点p只有左子树，则需重接p的左子树；若节点p只有右子树，则需重接p的右子树
//3.若节点p的左右子树都不为空，则
//	3.1查找节点p的右子树上的最左下节点s以及节点s的双亲节点par
//	3.2将节点s的数据域替换到被删除节点p的数据域
//	3.3若节点p的右孩子无左子树，则将s的右子树接到par的右子树上;否则将s的右子树接到节点par的左子树上
//	3.4删除节点s；
void BiSortTree::DeleteBST(BiNode<int>*p,BiNode<int>*f)
{
	if((p->lchild==NULL)&&(p->rchild)==NULL)
	{
		f->lchild=NULL;
		delete p;
	}
	else if(p->rchild==NULL)
	{
		f->lchild=p->lchild;
		delete p;
	}
	else if(p->lchild==NULL)
	{
		f->lchild=p->rchild;
		delete p;
	}
	else{
		BiNode<int>*par=p;
		BiNode<int>*s=p->rchild;
		while(s->lchild!=NULL)
		{
			par=s;
			s=s->lchild
		}
		p->data=s->data;
		if(par==p)
			par->rchild=s->rchild;
		else
			par->lchild=s->rchild;
		delete s;
		
	}
	
}
BiNode<int>*BiSortTree::SearchBST(BiNode<int>*root,int k)
{
	if(root==NULL)
		return NULL;
	else if(root->data==k)
		return root;
	else if(root->date>k)
		return SearchBST(root->lchild,k);
	else if(root->data<k)
		return SearchBST(root->rchild,k);
}

给定值的比较次数等于给定值节点在二叉排序树中的层数。如果二叉排序树是平衡的，则n个节点的二叉排序树的高度为Log ₂n+1,其查找效率为O(Log ₂n)，近似于折半查找。如果二叉排序树完全不平衡，则其深度可达到n，查找效率为O(n)，退化为顺序查找。一般的，二叉排序树的查找性能在O(Log ₂n)到O(n)之间。因此，为了获得较好的查找性能，就要构造一棵平衡的二叉排序树。