小阳的贝壳 线段树 求区间GCD_线段树 区间gcd

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链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/949/H
来源：牛客网
题目描述
小阳手中一共有 n 个贝壳，每个贝壳都有颜色，且初始第 i 个贝壳的颜色为coli。
现在小阳有 3 种操作：
1 l r x：给 [l,r] 区间里所有贝壳的颜色值加上 x 。
2 l r ：询问 [l,r] 区间里所有相邻贝壳 颜色值的差（取绝对值） 的最大值（若 l=r输出0）
3 l r ：询问 [l,r] 区间里所有贝壳颜色值的最大公约数。

题目要求3个操作分别是：
维护区间修改 ，维护区间最大公因数(GCD) ，维护相邻差值 的最大值

1. 区间和 = 左区间和 + 右区间和
2. 区间GCD = gcd( 左区间GCD , 右区间GCD );
3. 差值最大值=max(左区间差值最大值，右区间差值最大值)

如何维护区间GCD ，有一下公式

gcd(a,b)=gcd(a,b−a)
gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b)
gcd(a1​,a2​,⋯,an​)=gcd(a1​,a2​−a1​,a3​−a2​,⋯,an​−an−1​)

观察公式 a1, a2-a1,⋯,an​−an−1 为 差分数列

不懂差分的看这差分性质

因此用 差分数列 建线段树
1. 区间修改 根据差分性质 变成了单点修改 
2. 区间gcd 求[L,R]的 最大公因数， 分成求 [1,L] 差分数列的区间和sum 与 [L+1，R]的gcd 
3. 差值最大值，直接维护差值绝对值的最大值
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下面的两个模板，在build 和update函数中 提供了两种 维护区间gcd方法

| | 双竖线 代表 绝对值 ， 因为差分过程 可能会出现负数
1.gcd(a1​,a2​,⋯,an​)=gcd(a1​, | a2​−a1 | ​, | a3​−a2 | ​,⋯, | an​−an−1 | ​)

2.gcd(a1​,a2​,⋯,an​)= | gcd(a1​,a2​−a1​,a3​−a2​,⋯,an​−an−1​) |

//模板1
#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
typedef struct
{
    ll sum;   //   维护差分数列前缀和
    ll gcd;   // 维护差分数列 最大公因数
    ll mx;    //  维护相邻差值的 最大值
}stu;
stu tr[N<<2];
ll a[N],b[N];

/*
gcd(a,b)=gcd(a,b−a) 
gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b) 
gcd(a1​,a2​,⋯,an​)=gcd(a1​,a2​−a1​,a3​−a2​,⋯,an​−an−1​)
*/
void pushup(ll p)
{
    tr[p].sum=tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum;
    tr[p].gcd=__gcd(tr[p<<1].gcd,tr[p<<1|1].gcd);   // __gcd() 为c++ 自带最大公因数函数
    tr[p].mx=max(tr[p<<1].mx,tr[p<<1|1].mx);
}

void build(ll p,ll l,ll r)
{
    if(l==r)
    {
        tr[p].sum=b[l];
        tr[p].gcd=abs(b[l]);
        tr[p].mx=abs(b[l]);
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build(p<<1|1,mid+1,r);

    pushup(p);
}

void update(ll p,ll l,ll r,ll pos,ll x)
{
    if(l==r)
    {
        tr[p].sum+=x;
        tr[p].gcd=abs(tr[p].sum);
        tr[p].mx=abs(tr[p].sum);
        return ;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)
        update(p<<1,l,mid,pos,x);
    if(pos>mid)
        update(p<<1|1,mid+1,r,pos,x);

    pushup(p);
}

ll query1(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)          // 维护区间和
{
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].sum;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans+=query1(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans+=query1(p<<1|1,mid+1,r,x,y);

    return ans;
}

ll query2(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)     // 查询 差值最大
{
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].mx;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans=query2(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans=max(ans,query2(p<<1|1,mid+1,r,x,y));

    return ans;
}

ll query3(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)   // 查询区间gcd
{
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].gcd;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans=query3(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans=__gcd(ans,query3(p<<1|1,mid+1,r,x,y));

    return ans;
}


int main()
{
   int n,m;
   int opt;
   ll x,y,z;
   scanf("%d %d",&n,&m);
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       scanf("%lld",&a[i]);
       b[i]=a[i]-a[i-1];
   }
   build(1,1,n);
   ll ans,num;
   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
       scanf("%d",&opt);
       if(opt==1)
       {
            scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&z);
            update(1,1,n,x,z);
            if(y+1<=n)
            update(1,1,n,y+1,-z);
       }
       else if(opt==2)
       {
              scanf("%lld %lld",&x,&y);
              if(x==y)
              {
                  printf("0\n");
              }
               else
               {

              ans=abs(query2(1,1,n,x+1,y));
              printf("%lld\n",ans);
               }
       }
       else if(opt==3)
       {
              scanf("%lld %lld",&x,&y);
           
                num=query1(1,1,n,1,x);
               ans=__gcd(num,query3(1,1,n,x+1,y));
              printf("%lld\n",ans);
              }
       }
   }
    return 0;
}

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//模板2
#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
/*
gcd(a,b)=gcd(a,b−a) 
gcd(a,b,c)=gcd(a,b−a,c−b) 
gcd(a1​,a2​,⋯,an​)=gcd(a1​,a2​−a1​,a3​−a2​,⋯,an​−an−1​)
*/

typedef struct
{
    ll sum;   //   维护差分数列前缀和
    ll gcd;   // 维护差分数列 最大公因数
    ll mx;    //  维护相邻差值的 最大值
}stu;
stu tr[N<<2];
ll a[N],b[N];

void pushup(ll p)
{
    tr[p].sum=tr[p<<1].sum+tr[p<<1|1].sum;
    tr[p].gcd=__gcd(tr[p<<1].gcd,tr[p<<1|1].gcd);
    tr[p].mx=max(tr[p<<1].mx,tr[p<<1|1].mx);
}

void build(ll p,ll l,ll r)
{
    if(l==r)
    {
        tr[p].sum=b[l];
        tr[p].gcd=b[l];
        tr[p].mx=abs(b[l]);
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    build(p<<1,l,mid);
    build(p<<1|1,mid+1,r);

    pushup(p);
}

void update(ll p,ll l,ll r,ll pos,ll x)
{
    if(l==r)
    {
        tr[p].sum+=x;
         tr[p].gcd+=x;
          tr[p].mx=abs(tr[p].sum);
        return ;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)
        update(p<<1,l,mid,pos,x);
    if(pos>mid)
        update(p<<1|1,mid+1,r,pos,x);

    pushup(p);
}

ll query1(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)      // 维护区间和
{  
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].sum;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans+=query1(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans+=query1(p<<1|1,mid+1,r,x,y);

    return ans;
}

ll query2(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)   // 查询 差值最大值
{
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].mx;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans=query2(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans=max(ans,query2(p<<1|1,mid+1,r,x,y));

    return ans;
}

ll query3(ll p,ll l,ll r,ll x,ll y)   // 查询区间gcd
{
    ll ans=0;
    if(x<=l&&r<=y)
    {
        return tr[p].gcd;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;

    if(x<=mid)
        ans=query3(p<<1,l,mid,x,y);
    if(y>mid)
        ans=__gcd(ans,query3(p<<1|1,mid+1,r,x,y));

    return ans;
}


int main()
{
   int n,m;
   int opt;
   ll x,y,z;
   scanf("%d %d",&n,&m);
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       scanf("%lld",&a[i]);
       b[i]=a[i]-a[i-1];
   }
   build(1,1,n);
   ll ans,sum;
   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
       scanf("%d",&opt);
       if(opt==1)
       {
            scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&z);
            update(1,1,n,x,z);
            if(y+1<=n)
            update(1,1,n,y+1,-z);
       }
       else if(opt==2)
       {
              scanf("%lld %lld",&x,&y);
              if(x==y)
              {
                  printf("0\n");
                 continue;
              }
               ans=abs(query2(1,1,n,x+1,y));
              printf("%lld\n",ans);
       }
       else if(opt==3)
       {
              scanf("%lld %lld",&x,&y);
              ll sum=query1(1,1,n,1,x);
              ll ans=abs(__gcd(sum,query3(1,1,n,x+1,y)));
              printf("%lld\n",ans);
       }
   }
    return 0;
}

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