MIT线性代数——3.4：线性独立、基、维度_线性代数独立向量

本节的几个大的知识点能够用一句话来概括：以一组 相互独立 的向量为 基 而张成的空间的 维度 是这些向量的个数。 好了，本节完……

……不了。

本节引导

1. 矩阵A中的列独立等价于" $Ax=0$ 的唯一解为 $x=$ 0 ", 矩阵A的零空间为 Z 也就是 {0}
2. 向量之间独立，换句话说就是对于相互独立的几个向量，$v_1,v_2,\dots \dots ,v_k$，如果一组系数 $c_1,c2,\dots \dots ,c_k$，使得 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\dots \dots +c_k{v}_k=0$，那么这几个系数一定都等于0。
3. 列数n大于行数m的矩阵 $A$，一定是存在至少 n -m 个自由元，$Ax=0$ 一定有非零解，一定存在一组系数 $c_1,c2,\dots \dots ,c_k$，使得 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\dots \dots +c_k{v}_k=0$，而且这些系数一定有非零项。
4. 如果空间 $S$ 是一由组向量 $v_1,v_2,\dots \dots ,v_k$的所有线性组合构成的，那么我们可以说这些向量 $v^{\prime }s$ 张成了空间 $S$。
5. 同4，如果这组向量相互独立，我则可以说这组向量是空间 $S$ 的基。
6. 同5，这些互相独立张成空间 $S$ 的向量的个数，叫做空间的维度。
7. 如果矩阵 $A$ 是 $n\times n$ 可逆矩阵（也就是我一点点化简，最后能把这个矩阵化成单位矩阵），那么这个矩阵的所有列是一个 n 维空间 $R^n$ 的基。

3.4.1 线性无关

1. 定义

• 单纯从矩阵上来理解，线性无关就是矩阵方程 $Ax=0$ 的解是个零向量。
• 再简单一点就是，上面引导中的那句话：
  相互独立的几个向量，$v_1,v_2,\dots \dots ,v_k$，如果一组系数 $c_1,c2,\dots \dots ,c_k$，使得 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\dots \dots +c_k{v}_k=0$，那么这几个系数一定都等于0。

2. 理解

如果是第一句定义， $Ax=0$ 本质上就是找到矩阵 $A$ 中的所有列向量的某些组合方式，使得这些列向量的组合结果为0。

图示

我们来看看相互独立的向量的模样：

（2，1，0）、（1，2，0）、（2，2，3）
matlab牛逼，我用pyhton没画出来