Educational Codeforces Round 117 (Rated for Div. 2) E. Messages_e. messages educational codeforces round 117 (rate

Messages

我们假定此时选出了 $t$ 个信息，我们现在要求得期望的最大值。题目中要求的期望是：阅读了到指定信息的学生的期望数量的的最大值，那么我们这里做个等价变换，这个期望就等于， 最优条件下选出来的 $t$ 条信息被阅读的期望次数和。

然后我们又发现，如果选出了一条信息，它被阅读的期望次数 $E_m$ 是固定且独立的：对于信息 $m$ ，对其被阅读次数期望有贡献的肯定是被指定读 $m$ 的学生，那么假定这个学生会阅读 $k$ 条信息，那么这个学生对信息 $m$ 被阅读次数的期望贡献就是 $E_m=\frac{min(k,t)}{t}$ （ $t\le k$ 时该学生会阅读所有信息，必阅读到 $m$ ，若 $t>k$ 则其会从 $t$ 条信息中随机选 $k$ 条，选中 $m$ 这一条信息的概率为 $\frac{k\times (t-1)!}{t!}=\frac{k}{t}$ ），那么我们对所有选了 $m$ 的学生求个和即可。

那么我们现在求得了一条信息被阅读次数的期望 $E_m$ ，且发现每条信息被阅读次数期望独立，我们要求的期望是 $t$ 条信息被阅读次数的期望和，那么我们显然就直接选择 $t$ 个最大的 $E_m$ 是最优解。

那么我们这里是选定了一个 $t$ 求得的答案，那么难道我们要对所有情况的 $t$ 去求一个答案吗？其实不用，我们这里发现 $k_i\le 20$ ，我们思考一下当 $t>20$ 后会如何呢？我们发现此时对于某个选了信息 $m$ 的学生来说，其对信息 $m$ 的被阅读次数贡献就变成了 $\frac{k}{t}$ ，那么我们设所有选择了信息 $m$ 的同学的 $k$ 的和定义为 $su{m}_m$ ，那么一条信息被阅读次数期望就为 $\frac{su{m}_m}{t}$ ，最终答案的就是将 $su{m}_m$ 排序后，得到 $ans=\frac{su{m}_{m1}+su{m}_{m2}+...su{m}_{mt}}{t}$ ，也就是对最大的 $t$ 个 $su{m}_m$ 求个平均值。那么同理，选 $t+1$ 条信息的答案，也就是对最大的 $t+1$ 的 $su{m}_m$ 求个平均值，加了一个更小的值进来求平均只会让答案变得更劣，所以当 $t>20$ 的时候，答案只会比 $t=20$ 更劣，所以无需考虑，我们只需要遍历 $[1,20]$ 的 $t$ 去选择一个最大期望，不断更新答案，记录方案即可。

这里注意这个题的期望可以用分数表示，也就是说可以没有浮点误差，所以尽可能不要用浮点数表示期望每种 $t$ 的期望。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n, Eu, Ed = 1;

vector<int> g[N];

pair<int, int> ans;

vector< pair<int, int> > ansv, v;

bool cmp(pair<int, int> &a, pair<int, int> &b) {return a.first > b.first;};

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1, m, k; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &m, &k);
        g[m].push_back(k);
    }
    for (int t = 1; t <= 20; ++t) {
        v.clear();
        for (int m = 1; m <= 200000; ++m) {
            int cur = 0;
            for (auto k : g[m]) {
                cur += min(t, k);
            }
            v.push_back({cur, m});
        }
        sort(v.begin(), v.end(), cmp);
        int tEu = 0, tEd = t;
        for (int i = 0; i < t; ++i) {
            tEu += v[i].first;
        }
        if (tEu * Ed > Eu * tEd) {
            Eu = tEu;
            Ed = tEd;
            ansv.clear();
            for (int i = 0; i < t; ++i) {
                ansv.push_back(v[i]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", (int)ansv.size());
    for (auto i : ansv) {
        printf("%d ", i.second);
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54