图解格林公式

1.图解格林公式

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笔记来源：小元老师：重积分、曲线积分、曲面积分【合集】【小元老师】高等数学，考研数学，高数基础

1.1 单连通区域、复连通区域

单连通区域边界逆时针为正（机器人左手拿水壶，只有逆时针沿边界行走，才可以将水浇入内部）
复连通区域内边界顺时针为正向（雪人左手拿水壶，只有顺时针行走时，水才能浇入内外边界之间）

1.2 格林公式

封闭曲线的曲线积分（环流量） = 旋度的二重积分（每一点旋度的叠加）
环流量表示某一点流入和流出的量的多少
旋度表示某一点处附近旋转速度的快慢
如果逆时针旋转（规定旋度为正），旋转速度越快，则旋度越大
如果顺时针旋转（规定旋度为负），旋转速度越快，则旋度绝对值越大

匀速圆周运动，速度方向正交与半径，其余两个向量是速度向量的分向量

上面两张图证明了每个点的旋度为 $2\omega$

计算速度场中半径为 $r$ 的圆周运动的环流量

计算速度场中半径为 $r$ 的圆周运动的旋度

通过以上运算得知：某点附近区域的环流量=某点附近区域的旋度（由此验证了格林公式）
假如哪吒在这个水中搅动（角速度变大），则旋度越大，环流量越大

速度向量与边界方向的夹角为锐角时，最后算出来的环流量为正，反之若为钝角则环流量为负

证明格林公式