2023 年 亚太赛 APMCM （B题）国际大学生数学建模挑战赛 |数学建模完整代码+建模过程全解全析

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。

完整内容可以在文章末尾领取！

问题一：

建立没有作物的玻璃温室内的温度和风速分布数学模型，我们可以采用流体力学和热传导的基本方程。假设温室内的流体是不可压缩、稳定、定常的，并考虑热传导和对流。

1. 质量守恒方程：
   $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$
   这里，$\mathbf{v}$ 是速度场矢量。

2. 动量守恒方程：
   $\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{v}+\rho \mathbf{g}$
   其中，$\rho$ 是流体密度，$p$ 是压力，$\mu$ 是动力粘度，$\mathbf{g}$ 是重力矢量。

3. 能量守恒方程：
   $\rho C_p\left(\frac{\partial T}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla T\right)=\nabla \cdot (k\nabla T)+\rho H$
   其中，$C_p$ 是比热容，$T$ 是温度场，$k$ 是热导率，$H$ 是热源（考虑加热风的影响）。

4. 边界条件：

   • 温室的外玻璃和底部土壤被设置为壁条件，即流体不能穿过它们。
   • 温室风扇一侧的边界条件被设置为速度入口条件，水平方向以平均速度吹出暖空气。
     温室外表面：速度和温度的法向梯度等于零，即流体不能穿过温室外表面。
     温室风扇一侧：速度边界条件，水平方向以平均速度吹出暖空气（具体参数可根据实际情况调整）。
     温室内部：作物的多孔介质边界条件，考虑作物的冠层阻力。

5. 初始条件：

   • 温室内的初始温度设定为20°C。

通过数值解这组方程，可以获得在温室高度为0.5米的横截面上的风速和温度的分布。

1. 速度场方程：
   $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$
   这里，$u$, $v$, 和 $w$ 分别是速度场在 x、y 和 z 方向上的分量。

2. Navier-Stokes 动量守恒方程（在稳态、不可压缩的情况下）：
   $\rho \left(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu {\nabla }^{2}u+\rho g_x$
   同样的方程适用于 $v$ 和 $w$ 分量，其中 $g_x$ 是重力场在 x 方向上的分量。

3. 热传导方程：
   $\rho C_p\left(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}+w\frac{\partial T}{\partial z}\right)=k{\nabla }^{2}T+\rho H$
   这里，$T$ 是温度场。

4. 初始条件：

   • 温室内初始时刻的速度和温度分布。

5. 附加约束：

   • 适宜的风速范围为0.3-1m/s。
   • 适宜的温度范围为23-26°C。
   • 考虑温室结构，包括玻璃的导热性、风扇的特性等。

数学模型的求解可以使用数值方法，如有限体积法或有限元法，通过在计算网格上离散化方程组，迭代求解以获得温室内温度和风速的分布。

问题二

为了建立种植了作物的玻璃温室内的温度和风速分布的数学模型，我们需要考虑作物的冠层阻力以及温室内的空气流动。以下是数学模型的一般描述：

流体动力学方程：

质量守恒方程：

$\nabla \cdot \mathbf{v}=0$

Navier-Stokes 动量守恒方程：

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{v}+\rho \mathbf{g}$

其中，$\mathbf{v}=(u,v,w)$ 是速度场矢量，$p$ 是压力，$\mu$ 是动力粘度，$\rho$ 是流体密度，$\mathbf{g}=(0,0,-g)$ 是重力矢量。

热传导方程：

能量守恒方程：

$\rho C_p\left(\frac{\partial T}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla T\right)=\nabla \cdot (k\nabla T)+\rho H$

其中，$T$ 是温度场，$C_p$ 是比热容，$k$ 是热导率，$H$ 是热源（可能包括作物的代谢产生的热）。

作物模型：

作物的冠层阻力可以通过适当的参数化来考虑，例如引入一个与作物生长状态相关的阻力项。

边界条件：

1. 速度边界条件：

   • 温室风扇一侧设置为速度入口条件，水平方向以平均速度吹出暖空气。
   • 温室内其余表面设定为壁条件，防止空气穿过温室表面。

2. 温度边界条件：

   • 温室风扇一侧设置为温度入口条件，以40°C的温暖空气吹出。
   • 温室内其余表面设定为壁条件。

初始条件：

• 温室内的初始温度设定为20°C。

两个横截面分布：

1. 高度为0.5米的位置（作物冠层水平）：

   • 分析在作物冠层水平位置的风速和温度分布，以评估是否符合作物的生长要求。

2. 高度为0.1米的位置（作物冠层内部）：

   • 分析在作物冠层内部的风速和温度分布，以更详细地考虑作物生长的影响。

分析条件是否适宜作物生长：

通过模拟结果，比较温室内两个不同高度的横截面上的温度和风速分布与作物生长的要求，评估条件是否适宜。关注作物所需的温度范围和适宜的风速，以模拟结果在这些方面满足作物生长的基本条件。

用python进行数值模拟：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟参数
length = 10.0  # 温室长度
width = 3.0    # 温室宽度
height = 2.0   # 温室高度

dx = 0.1       # 空间步长
dt = 0.01      # 时间步长
time_steps = 100

# 空间网格
x = np.arange(0, length, dx)
y = np.arange(0, width, dx)
z = np.arange(0, height, dx)

# 初始化温度场和速度场
T = np.ones((len(x), len(y), len(z))) * 20.0  # 初始温度
U = np.zeros((len(x), len(y), len(z)))         # 初始速度

# 模拟时间步进
for t in range(time_steps):
    # 在这里添加 Navier-Stokes 和能量守恒的数值解法

    # 更新速度场
# 更新速度场 - Navier-Stokes方程
for i in range(1, len(x) - 1):
    for j in range(1, len(y) - 1):
        for k in range(1, len(z) - 1):
            # Navier-Stokes 方程的简化数值解法
            dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i+1, j, k, 2] - U[i-1, j, k, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]

            U[i, j, k] += np.array([dUx_dt, dUy_dt, dUz_dt]) * dt

# 更新温度场 - 热传导方程
alpha = 0.1  # 热扩散系数

for i in range(1, len(x) - 1):
    for j in range(1, len(y) - 1):
        for k in range(1, len(z) - 1):
            # 热传导方程的简化数值解法
            dT_dt = alpha * ( (T[i+1, j, k] - 2*T[i, j, k] + T[i-1, j, k]) / (dx**2) +
                              (T[i, j+1, k] - 2*T[i, j, k] + T[i, j-1, k]) / (dy**2) +
                              (T[i, j, k+1] - 2*T[i, j, k] + T[i, j, k-1]) / (dz**2) )

            T[i, j, k] += dT_dt * dt

# 绘制结果
plt.imshow(T[:, :, int(len(z)/2)], cmap='hot', extent=[0, length, 0, width])
plt.colorbar(label='Temperature (°C)')
plt.quiver(x, y, U[:, :, int(len(z)/2)], np.zeros_like(y), scale=20, scale_units='xy', color='white')
plt.title('Temperature and Airflow in the Greenhouse')
plt.xlabel('Length (m)')
plt.ylabel('Width (m)')
plt.show()
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问题三：

在给定的两个情景中，我们要考虑温室内的空气流动和温度分布的理论影响。为了理解这些影响，我们依照 Navier-Stokes 方程和能量守恒方程进行分析。

情景1：将暖空气出口的速度从2 m/s增加到3 m/s

加强空气对流，高速的暖空气流动可能增加温室内的空气对流，从而影响整体温度分布。

更有效的温室加热，提高暖空气速度可能会提高空气与温室结构之间的热交换效率，可能导致温室内的温度升高。

空气流动的不均匀性，更高的速度可能引入空气流动的不均匀性，导致一些区域温度升高，而另一些区域温度较低。

情景2：通过将温室风扇从1.3m降至1m的位置进行调整：

改变空气流动路径，调整风扇位置可能会改变温室内的空气流动路径，影响空气对流和温度分布。

作物冠层的影响，风扇位置的变化可能会直接影响作物冠层的温度和空气流动，对作物生长产生重要影响。

温室底部温度变化，调整风扇位置可能影响温室底部的温度分布，进而影响底部作物的生长环境。

具体的微调代码为：

第一种情景 - 增加暖空气出口速度

warm_air_speed = 3  # 将暖空气出口速度从2 m/s

#增加到3 m/s

# 更新速度场
for i in range(1, len(x) - 1):
    for j in range(1, len(y) - 1):
        for k in range(1, len(z) - 1):
            # Navier-Stokes方程的简化数值解法
            dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i+1, j, k, 2] - U[i-1, j, k, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]

            U[i, j, k] += np.array([dUx_dt, dUy_dt, dUz_dt]) * dt * warm_air_speed / 2  # 调整速度

# 更新温度场 - 热传导方程
alpha = 0.1  # 热扩散系数

for i in range(1, len(x) - 1):
    for j in range(1, len(y) - 1):
        for k in range(1, len(z) - 1):
            # 热传导方程的简化数值解法
            dT_dt = alpha * ( (T[i+1, j, k] - 2*T[i, j, k] + T[i-1, j, k]) / (dx**2) +
                              (T[i, j+1, k] - 2*T[i, j, k] + T[i, j-1, k]) / (dy**2) +
                              (T[i, j, k+1] - 2*T[i, j, k] + T[i, j, k-1]) / (dz**2) )

            T[i, j, k] += dT_dt * dt

# 第二种情景 - 调整温室风扇位置
fan_height = 1  # 将温室风扇位置从1.3m降至1m

# 更新速度场
for i in range(1, len(x) - 1):
    for j in range(1, len(y) - 1):
        for k in range(1, len(z) - 1):
            # Navier-Stokes方程的简化数值解法
            dUx_dt = -((U[i+1, j, k, 0] - U[i-1, j, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i, j+1, k, 1] - U[i, j-1, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUy_dt = -((U[i, j+1, k, 0] - U[i, j-1, k, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] - ((U[i+1, j, k, 1] - U[i-1, j, k, 1]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 1] - ((U[i, j, k+1, 2] - U[i, j, k-1, 2]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 2]
            dUz_dt = -((U[i, j, k+1, 0] - U[i, j, k-1, 0]) / (2*dx)) * U[i, j, k, 0] -

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我们期望温室内的温度分布更加均匀，同时适宜的风速和温度范围将有助于提供良好的生长条件。

更多内容具体可以看看我的下方的名片！里面包含有亚太赛一手资料与分析！
另外在赛中，我们也会陪大家一起解析亚太赛APMCM的一些方向
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